Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de la géométrie analytique en classe de Première Spécialité. Il combine plusieurs notions fondamentales : la manipulation des coordonnées dans un repère orthonormé, la détermination d'équations de cercles et de droites, ainsi que l'application du produit scalaire pour le calcul d'angles. L'énoncé nous place dans un carré ABCD centré à l'origine, avec un point E situé sur un demi-cercle supérieur, formant un triangle BDE dont nous devons analyser les propriétés métriques.

Points de vigilance et notions requises

• Équation de cercle : Rappelez-vous que l'équation d'un cercle de centre $I(x_I; y_I)$ et de rayon $R$ est $(x - x_I)^2 + (y - y_I)^2 = R^2$.
• Vecteur normal et hauteur : La hauteur issue d'un sommet dans un triangle est la droite passant par ce sommet et perpendiculaire au côté opposé. Un vecteur directeur de la base sert de vecteur normal à la hauteur.
• Projeté orthogonal : Le point H est l'intersection de la droite (BD) et de la hauteur issue de E.
• Produit scalaire : On utilise ici la définition analytique $xx' + yy'$ ainsi que la définition géométrique avec le cosinus pour trouver l'angle.

Guide de résolution détaillé

1. Équations cartésiennes :
La droite (BD) passe par $B(3;3)$ et $D(-3;-3)$. Son équation réduite est $y = x$, soit l'équation cartésienne $x - y = 0$. Pour le cercle de diamètre $[AB]$, le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées $(0;3)$ et le rayon est $R = 3$. L'équation est $x^2 + (y-3)^2 = 9$.

2. Équation de la hauteur :
La hauteur est perpendiculaire à (BD). Un vecteur directeur de (BD) est $\vec{u}(1;1)$. Ce vecteur est normal à la hauteur. L'équation est de la forme $1x + 1y + c = 0$. En injectant les coordonnées de $E(-2; 3+\sqrt{5})$, on trouve $-2 + 3 + \sqrt{5} + c = 0$, d'où $c = -(1+\sqrt{5})$. On obtient bien $x + y - (1+\sqrt{5}) = 0$.

3. Coordonnées de H :
H est l'intersection de $y=x$ et $x+y = 1+\sqrt{5}$. On remplace $y$ par $x$ : $2x = 1+\sqrt{5}$, donc $x_H = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $y_H = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

4. Aire du triangle :
L'aire est $\frac{Base \times Hauteur}{2}$. La base $BD = \sqrt{6^2+6^2} = 6\sqrt{2}$. La hauteur $EH$ se calcule avec la distance entre deux points. On trouve $EH = \frac{5+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$. L'aire simplifiée est $15 + 3\sqrt{5}$ unités d'aire.

5. Produit scalaire et angle :
Calculons les coordonnées : $\vec{DB}(6;6)$ et $\vec{DE}(1; 6+\sqrt{5})$. Le produit scalaire est $6(1) + 6(6+\sqrt{5}) = 42 + 6\sqrt{5}$. Enfin, $\cos(\widehat{BDE}) = \frac{\vec{DB} \cdot \vec{DE}}{DB \times DE}$. À la calculatrice, l'angle $\widehat{BDE}$ est d'environ $38^\circ$.