Analyse de l'énoncé

Cet exercice de type Vrai/Faux avec justification est caractéristique des épreuves de mathématiques en Première Spécialité. Il nécessite une grande polyvalence car il couvre trois domaines distincts : l'étude d'un trinôme du second degré à paramètre, la reconnaissance d'une suite géométrique et l'application de la dérivation à la fonction exponentielle pour trouver une équation de tangente.

Points de vigilance et notions requises

• Second degré : Savoir calculer un discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) et interpréter son signe, même lorsqu'il contient un paramètre variable (ici \(u\)).
• Suites : Maîtriser les propriétés des puissances (\(2^{-n} = (1/2)^n\)) pour identifier la raison d'une suite géométrique.
• Dérivation : Connaître la dérivée de \(e^x\), la valeur de \(e^0\), et la formule de la tangente \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).

Correction détaillée

Question 1 : Discriminant et solutions

L'équation est \(x^2 + x - u^2 = 0\). Les coefficients sont \(a=1, b=1, c=-u^2\).
Calculons le discriminant : \(\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-u^2) = 1 + 4u^2\).
Pour tout réel \(u\), \(u^2 \ge 0\), donc \(4u^2 \ge 0\), ce qui implique \(1 + 4u^2 \ge 1\).
Puisque \(\Delta > 0\) pour toute valeur de \(u\), l'équation possède toujours deux solutions réelles distinctes. L'affirmation est VRAIE.

Question 2 : Nature de la suite

On a \(u_n = 2^{-n}\). Par propriété des puissances, \(2^{-n} = (2^{-1})^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
On reconnaît la forme \(u_n = u_0 \times q^n\) avec \(u_0 = 1\) et \(q = \frac{1}{2}\).
On peut aussi vérifier le rapport : \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}} = 2^{-n-1+n} = 2^{-1} = \frac{1}{2}\). Le rapport est constant. L'affirmation est VRAIE.

Question 3 : Tangente et point A

Calculons l'équation de la tangente \(\mathcal{T}\) en \(x=0\).
\(f(x) = e^x - 1 \Rightarrow f(0) = e^0 - 1 = 1 - 1 = 0\).
\(f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1\).
L'équation de \(\mathcal{T}\) est \(y = f'(0)(x - 0) + f(0)\), soit \(y = 1(x) + 0\), donc \(y = x\).
Le point \(A\) a pour coordonnées \((3;3)\). En remplaçant \(x\) par 3 dans l'équation de la tangente, on obtient \(y = 3\). Les coordonnées de \(A\) vérifient l'équation \(y=x\). L'affirmation est VRAIE.