Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une population de bactéries modélisée par une suite numérique \((P_n)\). La structure de la relation de récurrence est de type arithmético-géométrique : \(P_{n+1} = aP_n + b\). L'objectif est de manipuler des calculs de termes, d'implémenter un algorithme en Python et de reconnaître une suite géométrique dans un contexte de croissance en pourcentage.

Points de vigilance

• Modélisation : Une augmentation de \(t\%\) correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{t}{100}\).
• Python : Attention à l'indentation et à la mise à jour de la variable dans la boucle for.
• Nature de la suite : Une suite est géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante réelle appelée raison.

Guide de résolution et Correction

Question 1.a : Calcul des termes

On a \(P_0 = 500\), \(\alpha = 0,2\) et \(\beta = 70\). La relation devient \(P_{n+1} = 1,2P_n + 70\).
Pour \(n=0\) : \(P_1 = 1,2 \times 500 + 70 = 600 + 70 = 670\).
Pour \(n=1\) : \(P_2 = 1,2 \times 670 + 70 = 804 + 70 = 874\).
Il y aura donc 874 000 bactéries au bout de deux jours.

Question 1.b : Programme Python

Le programme doit mettre à jour la valeur de \(P\) à chaque itération de la boucle. La ligne complétée est : P = 1.2 * P + 70 (ou (1+0.2)*P+70). La fonction doit ensuite renvoyer la valeur finale de p : return p.

Question 2 : Étude d'une croissance en pourcentage

a. Paramètres : Une augmentation de 9% se traduit par \(P_{n+1} = P_n + 0,09P_n = 1,09P_n\). On en déduit \(\alpha = 0,09\) et \(\beta = 0\).
b. Nature : La suite est de la forme \(P_{n+1} = q \times P_n\) avec \(q = 1,09\). Il s'agit d'une suite géométrique de premier terme \(P_0 = 500\) et de raison \(q = 1,09\).
c. Évolution : Le terme général est \(P_n = 500 \times 1,09^n\). Pour \(n=9\) : \(P_9 = 500 \times 1,09^9 \approx 500 \times 2,1719 \approx 1085,9\). Comme \(1085,9 > 1000\) (soit \(2 \times 500\)), la population a effectivement doublé après 9 jours.