Introduction au Sujet 12 - Spécialité Mathématiques 1ère

Le sujet 12 de l'année 2020 pour la spécialité Mathématiques de Première est un excellent test de synthèse. Il balaie un spectre très large du programme, allant de l'analyse de fonctions aux probabilités, en passant par les suites et la géométrie analytique. Sa structure équilibrée permet d'évaluer tant les automatismes de calcul que la capacité de modélisation. Globalement, ce sujet est considéré de difficulté moyenne, idéal pour une révision complète en fin d'année.

Exercice 1 : Le QCM de synthèse

Cet exercice de 5 points nécessite une grande vigilance. Les thèmes abordés sont variés :

• Polynômes du second degré : La question 1 porte sur le passage de la forme canonique à la forme factorisée. Un conseil méthodologique : si vous hésitez, développez les propositions ou utilisez le discriminant (delta) après avoir mis $f(x)$ sous forme développée.
• Suites Arithmétiques : La question 2 demande d'utiliser la relation $u_n = u_p + (n-p)r$. Une erreur classique consiste à se tromper dans le signe ou dans l'écart d'indice. Ici, $u_2 = u_{10} + (2-10) \times 0,5$.
• Dérivation : La question 3 teste la dérivée d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. N'oubliez pas le carré au dénominateur !
• Géométrie repérée : Les questions 4 et 5 portent sur les équations de droites et de cercles. Pour la droite, le lien entre le vecteur directeur $\vec{u}(-b; a)$ et l'équation $ax + by + c = 0$ est fondamental. Pour le cercle, il faut maîtriser la forme $(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2$.

Exercice 2 : Suites et Modélisation (L'invasion des chardons)

Cet exercice porte sur les suites arithmético-géométriques, un grand classique du programme de Première.

Notions clés : On commence par une approche par récurrence $u_{n+1} = 1,05u_n + 15$. La première difficulté est de prouver que la suite n'est ni arithmétique ni géométrique en calculant les premiers termes et en vérifiant les rapports et différences. Ensuite, l'introduction de la suite auxiliaire $v_n = u_n + 300$ permet de revenir à une suite géométrique, facilitant l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

Pièges à éviter : Lors de l'expression de $v_n$, assurez-vous de bien calculer $v_0$ à partir de $u_0$. Pour la question sur le doublement de la surface (8 semaines), évitez les conclusions hâtives et effectuez le calcul $u_8$ avec précision sur votre calculatrice.

Exercice 3 : Analyse de fonction et Tangentes

L'exercice 3 combine lecture graphique et calcul algébrique sur une fonction polynôme de degré 3.

Lecture graphique : Le coefficient directeur de la tangente en un point $a$ correspond à $f'(a)$. C'est une notion visuelle cruciale. Pour $x = -1$, la tangente est horizontale, donc $f'(-1) = 0$.

Étude algébrique : La dérivation de $f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1$ donne une fonction du second degré $f'(x) = 3x^2 + 6x + 2$. La résolution de $f'(x) = 0$ via le discriminant permet de trouver les extremums locaux. Enfin, pour vérifier si le point $S(-4; -3)$ appartient à la tangente en $x = -2$, il faut d'abord établir l'équation de cette tangente $y = f'(-2)(x + 2) + f(-2)$ et tester les coordonnées de S.

Exercice 4 : Probabilités et Variables Aléatoires

Le sujet se termine par une application concrète des probabilités dans le cadre de tirs au but.

L'arbre pondéré : Puisque les tirs sont indépendants, on construit un arbre de Bernoulli à 3 niveaux (8 issues possibles). Chaque branche a une probabilité égale au produit des probabilités rencontrées.

Variable aléatoire et Espérance : La loi de probabilité de $X$ (nombre de buts) suit une loi binomiale (même si le terme n'est pas exigé, la méthode l'est). Le calcul de $E(X)$ donne la moyenne théorique de buts. Pour la variable $Y$, on utilise la relation linéaire $Y = 6X - 15$. L'espérance $E(Y) = 6E(X) - 15$ permet de déterminer si le jeu est favorable au spectateur. Une espérance négative signifie un jeu défavorable sur le long terme.

Conclusion et conseils de révision

Ce sujet 12 de 2020 est complet. Pour réussir, il faut maîtriser la dérivation des polynômes, la manipulation des suites auxiliaires et la construction rigoureuse d'arbres de probabilité. Entraînez-vous à rédiger les justifications du QCM même si elles ne sont pas demandées ici, car cela renforce votre compréhension globale des mécanismes mathématiques de la classe de Première.