Introduction au sujet 02 de juin 2025

Ce sujet de Première Spécialité Mathématiques, identifié sous le code sujet02_juin_sg, s'inscrit parfaitement dans les attendus du programme de 2025. Il offre un équilibre intéressant entre les réflexes de calcul rapide (automatismes) et la réflexion structurée sur des modèles mathématiques concrets. La structure de l'épreuve est classique : une première partie sous forme de QCM traitant des automatismes, suivie de deux exercices de fond portant respectivement sur les suites numériques et l'étude de fonctions composées (exponentielles et polynômes).

Analyse de la Première Partie : Automatismes (QCM)

Le QCM se compose de 12 questions balayant un large spectre de compétences. L'enjeu ici n'est pas seulement la justesse, mais la rapidité d'exécution. Les notions de probabilités conditionnelles ouvrent le bal avec un arbre classique où la loi des probabilités totales est indispensable pour trouver p(B). Les questions de pourcentages (Q2, Q3) testent la compréhension des coefficients multiplicateurs, un point souvent source d'erreurs (une réduction de 50% suivie d'une hausse de 50% ne revient pas au prix initial !).

La partie géométrie repérée (Q7, Q8) demande une lecture précise des coefficients directeurs et la reconnaissance d'équations de droites. On notera également la présence de calcul littéral pur (Q5, Q11) et de résolution d'équations du second degré simples (Q9). Conseil méthodologique : Pour le QCM, utilisez l'élimination des réponses absurdes pour gagner du temps, notamment sur les tableaux de signes (Q10).

Exercice 1 : Modélisation par les Suites

Cet exercice porte sur une suite arithmético-géométrique modélisant l'évolution d'une population urbaine. C'est un grand classique du niveau Première Spécialité.

• Notions clés : Relation de récurrence, suite géométrique auxiliaire, passage à la forme explicite.
• Analyse : Le candidat doit démontrer que la suite auxiliaire v_n = u_n - 3750 est géométrique. La raison 1,08 indique une croissance annuelle de 8%, compensée par un retrait de 300 habitants.
• Pièges à éviter : Lors du calcul de v_{n+1}, il faut être rigoureux dans la factorisation par 1,08 pour faire apparaître v_n. L'interprétation du tableau de valeurs final demande de ne pas oublier le décalage entre l'indice n et l'année réelle (2020 + n).

L'utilisation d'une aide au calcul est ici précieuse pour l'interprétation finale concernant l'ouverture de l'école (seuil de 19 000 habitants atteint à n=12, soit en 2032).

Exercice 2 : Fonctions, Dérivation et Exponentielle

L'exercice 2 propose une étude de fonction mêlant polynômes du second degré et fonction exponentielle.

Partie A : Étude du trinôme

On commence par l'étude de P(x) = 2x² + x - 10. C'est une étape préparatoire indispensable. Le calcul du discriminant (delta) permet de trouver les racines (-2,5 et 2). Cette étude de signe sera le moteur de la partie suivante.

Partie B : Analyse de la fonction f

La fonction f est un produit d'un polynôme par une exponentielle. La dérivation est ici le point nodal : il faut utiliser la formule (uv)' = u'v + uv'. Le sujet guide l'élève en demandant de prouver que f'(x) = P(x)e^{0,5x}. Comme l'exponentielle est toujours positive, le signe de la dérivée dépend uniquement du signe de P(x) trouvé en Partie A.

Conseils de rédaction : Assurez-vous de bien justifier l'horizontalité de la tangente au point A (f'(2) = 0) et de faire le lien explicite entre le signe de la dérivée et le sens de variation de la fonction dans votre tableau final.

Conclusion et perspectives

Ce sujet 02 de juin 2025 est une excellente préparation pour les élèves souhaitant consolider leurs bases avant la Terminale. Il couvre les piliers de la spécialité : l'analyse (dérivation/exponentielle) et les suites. Pour réussir, la maîtrise du second degré est impérative, car elle intervient transversalement dans presque toutes les parties de l'épreuve.