Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité traite de la modélisation d'une évolution annuelle par une suite géométrique. L'énoncé présente une situation réelle : la production mondiale de plastique avec une croissance constante de 3,7 %. Il demande de manipuler les concepts fondamentaux des suites : nature de la suite, expression fonctionnelle, sens de variation et somme de termes.
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficient multiplicateur : Une augmentation de \(t\%\) correspond à une multiplication par \(1 + \frac{t}{100}\). Ici, \(+3,7\%\) donne une raison \(q = 1,037\).
- Indice et année : L'année 2000 correspond à \(n=0\). Il faut être vigilant pour l'année 2019 qui correspond à \(n=19\).
- Somme d'une suite géométrique : La formule est \(S = u_0 \times \frac{1-q^N}{1-q}\) où \(N\) est le nombre de termes. Pour aller de \(n=0\) à \(n=19\), il y a 20 termes.
- Pourcentages successifs : Pour la question 5, il faut appliquer 20 % à la somme totale, puis 30 % (le complément de 70 %) à ce résultat.
Correction détaillée
1. Chaque année, la production est multipliée par \(1 + \frac{3,7}{100} = 1,037\). Par définition, \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 187\) et de raison \(q = 1,037\).
2. Pour une suite géométrique, \(u_n = u_0 \times q^n\). On a donc \(u_n = 187 \times 1,037^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Comme \(u_0 > 0\) et \(q > 1\), la suite \((u_n)\) est strictement croissante.
4. Pour l'année 2019, \(n = 19\). On calcule \(u_{19} = 187 \times 1,037^{19} \approx 373\) millions de tonnes.
5. Calculons d'abord la production totale entre 2000 et 2019 : \(S = u_0 + u_1 + \dots + u_{19} = 187 \times \frac{1 - 1,037^{20}}{1 - 1,037} \approx 5396,25\) millions de tonnes. La part se retrouvant dans l'océan est de \(20\%\). Parmi celle-ci, \(30\%\) flottent (car \(70\%\) coulent). Quantité de déchets flottants : \(5396,25 \times 0,20 \times 0,30 \approx 323,77\). On arrondit bien à \(324\) millions de tonnes.