Introduction : Un panorama complet du programme de Première

Le sujet 58 de l'épreuve de spécialité mathématiques de Première (2020) constitue un excellent support de révision. Il balaye un large spectre du programme, allant de l'analyse de fonctions complexes aux probabilités conditionnelles, en passant par les suites numériques et la géométrie analytique. Globalement, ce sujet présente une difficulté équilibrée : il teste à la fois la connaissance directe du cours (QCM) et la capacité à modéliser des problèmes concrets (suites et probabilités). Pour réussir cette épreuve, une maîtrise rigoureuse des formules de dérivation et une aisance avec l'outil informatique (Python) sont indispensables.

Exercice 1 : Le QCM, un test de réactivité et de précision

Cet exercice de 5 points nécessite une lecture attentive. Les thèmes abordés sont variés :

• L'exponentielle : La première question porte sur les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Le piège classique est de confondre les règles de puissance. Il faut se rappeler que $e^{2x} + e^{4x}$ peut être factorisé par $e^{3x}(e^{-x} + e^x)$ pour correspondre à l'une des propositions.
• Géométrie repérée : La question 2 demande d'identifier la relation entre un vecteur et une droite. Ici, l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ donne immédiatement le vecteur normal $\vec{n}(a, b)$.
• Dérivation : On étudie la dérivée d'une fonction produit $f(x) = u(x)v(x)$. L'erreur fréquente consiste à oublier d'appliquer la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Trigonométrie : La question sur $\sin(\pi + x)$ fait appel aux formules des angles associés sur le cercle trigonométrique. Un schéma rapide permet d'éviter toute confusion de signe.
• Lecture graphique : Enfin, le calcul de $f'(0)$ nécessite de lire le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0.

Conseil méthodologique : Dans un QCM sans point négatif, ne laissez aucune case vide, mais procédez toujours par élimination pour gagner du temps.

Exercice 2 : Suites numériques et modélisation Python

L'exercice 2 porte sur l'évolution de populations, un grand classique des suites. Il oppose deux types de croissance :

• La ville A (Croissance géométrique) : Une augmentation de 2% correspond à un coefficient multiplicateur de 1,02. La suite $(u_n)$ est donc géométrique.
• La ville B (Croissance arithmétique) : Une augmentation fixe de 110 habitants par an définit une suite arithmétique $(v_n)$ de raison 110.

L'étude se poursuit par le calcul de termes à l'horizon 2020 ($n=10$) et se termine par un algorithme Python. La structure de la boucle while est cruciale : on cherche le moment où la ville A dépasse la ville B, donc la condition de maintien dans la boucle est u <= v. Chaque itération doit mettre à jour les valeurs de $u$, $v$ et l'année $n$.

Piège à éviter : Attention au rang de la suite. Si 2010 correspond à $n=0$, alors 2020 correspond bien à $n=10$. Une erreur d'indice est vite arrivée.

Exercice 3 : Analyse de fonctions et dérivées du troisième degré

Cet exercice demande d'étudier un polynôme de degré 3 : $h(x) = -x^3 + 30x^2 - 108x - 490$.

La première étape est le calcul de la dérivée $h'(x) = -3x^2 + 60x - 108$. L'identification graphique des courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ est un exercice de logique : la dérivée d'un degré 3 est une parabole (degré 2). En observant les variations de la fonction, on peut en déduire le signe de sa dérivée.

L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ au point $x=0$ utilise la formule $y = h'(0)(x-0) + h(0)$. C'est une application directe du cours qui rapporte des points facilement si le calcul de la dérivée est exact.

Conseil méthodologique : Pour le tableau de variations, étudiez le signe du trinôme $-3x^2 + 60x - 108$ en calculant son discriminant $\Delta$. Les racines permettront de placer les zéros dans le tableau.

Exercice 4 : Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Le dernier exercice traite de la gestion de la qualité en usine. La difficulté réside dans la construction correcte de l'arbre pondéré.

• $P(A) = 3/4 = 0,75$ et $P(B) = 1/4 = 0,25$.
• Les probabilités de défaut sont des probabilités conditionnelles : $P_A(D) = 0,02$ et $P_B(D) = 0,04$.

L'utilisation de la formule des probabilités totales est nécessaire pour démontrer que $P(D) = 0,025$. Enfin, la question finale porte sur une probabilité "inversée" (ou probabilité de Bayes) : sachant que l'aiguille est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de A ? On calcule $P_D(A) = P(A \cap D) / P(D)$.

Conclusion

Ce sujet 58 est complet et représentatif des exigences de la spécialité Mathématiques en Première. Il valorise la rigueur de rédaction et la compréhension profonde des concepts plutôt que le simple calcul mécanique. Pour parfaire votre préparation, entraînez-vous à rédiger les justifications de l'exercice 3 et à coder mentalement les boucles Python de l'exercice 2.