Introduction : Analyse globale du Sujet 9

Le sujet 9 de la session 2020 pour la spécialité Mathématiques en classe de Première offre un panorama complet du programme. Avec une structure classique en quatre exercices, il balaie des thématiques allant des probabilités conditionnelles à l'algorithmie, en passant par l'analyse de fonctions et la géométrie vectorielle. La difficulté est jugée équilibrée, idéale pour tester la rigueur technique et la compréhension des concepts fondamentaux.

Exercice 1 : Le QCM (Probabilités, Géométrie, Trigonométrie, Dérivation)

Cet exercice de 5 points demande une grande vigilance. Les probabilités conditionnelles ouvrent le bal avec un arbre incomplet. Le piège classique réside dans la confusion entre $P(A \cap B)$ et $P_B(A)$. Un calcul rapide de l'arbre permet de retrouver les valeurs manquantes.

La question de géométrie repérée teste la maîtrise des équations de droites. Il faut se rappeler qu'un vecteur directeur de la droite $ax + by + c = 0$ est $\vec{u}(-b; a)$. La question 3 sur la trigonométrie nécessite de vérifier si un angle est congru à $\pi/2$ modulo $2\pi$. Attention aux calculs de fractions avec $\pi$.

Enfin, les questions 4 et 5 portent sur la dérivation. On y retrouve l'équation de la tangente ($y = f'(a)(x-a) + f(a)$) et la formule de dérivation d'un quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$. Une erreur de signe au numérateur est le piège le plus fréquent.

Exercice 2 : Les suites numériques et le capital financier

Cet exercice porte sur les suites géométriques appliquées à un calcul d'intérêts composés.
Notions clés : La relation de récurrence $u_{n+1} = u_n \times (1 + r)$ transforme un pourcentage en coefficient multiplicateur (ici 1,03).
Méthodologie : Pour la question 4, le passage au logarithme n'étant pas strictement au programme de première (souvent vu en terminale), les élèves doivent procéder par tâtonnements à la calculatrice ou utiliser une table de valeurs pour déterminer quand le capital dépasse 10 000 euros. C'est un exercice de modélisation classique du réel.

Exercice 3 : Géométrie repérée et Produit Scalaire

L'exercice transpose un problème concret (l'éclairage d'une place) dans un repère orthonormé.
Analyse par étape :

• Lecture graphique : Les coordonnées doivent être relevées avec précision. K étant le milieu de [AB] et L positionné via un vecteur, le calcul de leurs coordonnées est un préalable indispensable.
• Calcul d'aire : Pour vérifier l'affirmation sur la surface éclairée, il faut calculer l'aire des deux triangles rectangles (ou utiliser la formule de l'aire d'un triangle avec les coordonnées) et la comparer à l'aire totale du rectangle OABC.
• Produit scalaire : On utilise ici la formule analytique $XX' + YY'$. Ensuite, en utilisant la définition géométrique $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| \times ||v|| \times \cos(\theta)$, on isole le cosinus pour trouver l'angle.

Exercice 4 : Étude de fonction et Algorithmie Python

Ce dernier exercice combine l'étude d'un polynôme de degré 3 et l'usage de Python pour une méthode de dichotomie.
Dérivation : Le calcul de la dérivée est simple, mais son étude de signe nécessite de reconnaître un trinôme du second degré ou d'utiliser la forme factorisée fournie dans l'énoncé.
Algorithmie : La fonction Python implémente la méthode du balayage (ou dichotomie) pour encadrer la racine $x_0$.
Piège à éviter : Dans le tableau d'exécution de l'algorithme, ne confondez pas l'étape $k$ avec la valeur de $n$. Soyez extrêmement rigoureux lors de la mise à jour des bornes $a$ et $b$ selon le signe de $f(x)$. Une erreur à la première itération fausse tout le reste de l'encadrement.

Conclusion

Le sujet 9 de 2020 est complet et exigeant sur la forme. Il valorise les élèves capables de passer rapidement d'un domaine à l'autre (des probabilités au code informatique). Pour réussir, la maîtrise des formules de dérivation et la rigueur dans les calculs vectoriels sont les deux piliers essentiels.