Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète (la réduction des déchets) à l'aide des suites géométriques et de la programmation en Python. Le contexte est classique : une évolution en pourcentage se traduit systématiquement par une suite géométrique. Ici, une baisse de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de \(0,98\). L'énoncé demande de manipuler le terme général, de calculer une somme de termes consécutifs et d'interpréter un script algorithmique.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une baisse de \(t\%\) revient à multiplier par \((1 - t/100)\).
- Indices : Bien identifier que \(a_0\) est le mois de décembre 2019. L'année 2020 commence donc à \(a_1\) (janvier) et se termine à \(a_{12}\) (décembre).
- Somme de termes : La formule est fournie, mais il faut être vigilant sur le premier terme utilisé (\(u_1 = a_1\)) et le nombre de termes (\(12\) pour une année complète).
- Algorithmique : Comprendre la boucle
for k in range(n) et le mécanisme de l'accumulateur S = S + U.
Correction détaillée
1. Justification pour \(a_2\)
La production de déchets diminue de 2 % chaque mois. En janvier 2020 (\(a_1\)), elle est de : \(120 \times (1 - 0,02) = 120 \times 0,98 = 117,6\) kg.
En février 2020 (\(a_2\)), elle est de : \(117,6 \times 0,98 = 115,248\) kg. On arrondit bien à environ \(115\) kg.
2. Nature et expression de la suite
a. Nature : Pour passer d'un mois au suivant, on multiplie toujours par \(0,98\). La suite \((a_n)\) est donc une suite géométrique de premier terme \(a_0 = 120\) et de raison \(q = 0,98\).
b. Terme général : Pour tout entier naturel \(n\), on a \(a_n = a_0 \times q^n\), soit \(a_n = 120 \times 0,98^n\).
3. Quantité totale en 2020
L'année 2020 compte 12 mois, allant de janvier (\(a_1\)) à décembre (\(a_{12}\)). On cherche la somme \(S = a_1 + a_2 + \dots + a_{12}\).
On utilise la formule avec \(u_1 = a_1 = 117,6\) et \(n = 12\) termes :
\(S = 117,6 \times \frac{1 - 0,98^{12}}{1 - 0,98} = 117,6 \times \frac{1 - 0,98^{12}}{0,02} \approx 1264,95\).
La famille produira environ 1 265 kg de déchets en 2020.
4. Analyse du programme Python
L'instruction S(6) lance une boucle qui s'exécute 6 fois (\(k\) allant de 0 à 5). À chaque itération :
- On calcule le terme suivant (\(U\) devient successivement \(a_1, a_2, \dots, a_6\)).
- On l'ajoute à la variable \(S\).
Le résultat renvoyé par S(6) représente la quantité totale de déchets produits par la famille A durant les 6 premiers mois de l'année 2020 (de janvier à juin inclus).