Analyse du Sujet 34 - Première Spécialité Mathématiques (Session 2020)

Ce sujet de l'épreuve commune de contrôle continu (E3C) de 2020 pour la Première Spécialité Mathématiques est particulièrement équilibré. Il balaie l'ensemble du programme de l'époque avec une progression pédagogique cohérente. D'une difficulté globale moyenne, il permet de tester tant la maîtrise technique (calcul de dérivées, manipulation d'exponentielles) que la capacité de modélisation (probabilités, suites numériques).

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice de type QCM ne comporte pas de points négatifs, ce qui incite à répondre à toutes les questions. Il traite des points cardinaux du programme :

• Question 1 (Second Degré) : Il s'agit de résoudre une inéquation du second degré. Le piège classique réside dans le signe du coefficient 'a' (-3). Le trinôme est positif entre les racines.
• Question 2 (Géométrie repérée) : La détermination d'une équation cartésienne à partir d'un point et d'un vecteur directeur exige la maîtrise de la formule ax + by + c = 0 où le vecteur directeur est (-b ; a).
• Question 3 (Dérivation) : Le calcul de la dérivée d'un quotient (u/v) est un incontournable. L'erreur de signe au numérateur est fréquente.
• Questions 4 & 5 (Exponentielle) : Ces questions testent les propriétés algébriques de la fonction exponentielle et la dérivation composée (ou produit).

Exercice 2 : Probabilités Conditionnelles

Cet exercice porte sur la gestion d'un stock d'arbustes. La structure est classique mais nécessite une lecture rigoureuse de l'énoncé pour construire l'arbre pondéré.

Notions clés : Probabilités totales et probabilités inversées (formule de Bayes).
Conseil : Toujours vérifier que la somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. Dans la dernière question, le calcul de P_T_barre(L_barre) demande de bien identifier que l'on cherche une probabilité conditionnelle sachant que l'arbuste est petit.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique Python

L'exercice est scindé en deux parties indépendantes, alliant théorie et programmation.

• Partie A : Étude d'une suite géométrique de raison 2/3. On demande de calculer la somme des 10 premiers termes. Attention à la formule de la somme : S = premier_terme * (1 - q^n) / (1 - q).
• Partie B : Analyse d'un script Python. La boucle 'for i in range(n)' est le cœur de l'algorithme. Il faut être capable de simuler les étapes pour n=5. La demande de création d'une fonction 'somme_termes' évalue la capacité de l'élève à utiliser un accumulateur (variable initialisée à 0 que l'on incrémente à chaque itération).

Exercice 4 : Analyse de Fonction (Polynôme du 3ème degré)

C'est l'exercice technique par excellence. L'étude de variations d'une fonction cubique est un pilier de la classe de Première.

Méthodologie : 1. Calculer la dérivée f'(x). 2. Factoriser (ici l'énoncé aide en donnant la forme factorisée). 3. Étudier le signe du produit pour en déduire les variations de f. 4. Équation de tangente : y = f'(a)(x-a) + f(a). Ici, a=0.
Le point critique : La question 5 demande de trouver un point où la tangente est parallèle. Parallèle signifie "même coefficient directeur". Il faut donc résoudre l'équation f'(x) = f'(0) pour trouver l'autre racine.

Conclusion et révisions

Le sujet 34 est un excellent support d'entraînement pour les devoirs surveillés de fin d'année ou pour préparer l'entrée en Terminale. Il sollicite la rigueur calculatoire et la compréhension des mécanismes algorithmiques de base. Pour réussir, concentrez-vous sur la mémorisation des formules de dérivation et la manipulation des suites géométriques.