Analyse de l'énoncé : Modélisation et Croissance

Cet exercice porte sur l'application des suites numériques dans un contexte économique concret : la création d'entreprises. L'énoncé nous présente une croissance mensuelle constante de \(1,5\%\). En mathématiques, une augmentation en pourcentage se traduit par un coefficient multiplicateur. Ici, augmenter de \(1,5\%\) revient à multiplier par \(1 + \frac{1,5}{100} = 1,015\). On définit ainsi une suite de premier terme \(u_0 = 50\) (représentant 50 000 entreprises) où chaque terme se déduit du précédent par une multiplication constante.

Points de vigilance et notions de cours

• Nature de la suite : Il faut identifier immédiatement la structure \(u_{n+1} = u_n \times q\), caractéristique d'une suite géométrique.
• Unités : Attention, \(u_n\) est exprimé en milliers. Il faudra multiplier le résultat final par 1 000 pour interpréter correctement les effectifs réels.
• La somme des termes : La question du journaliste sur le total annuel nécessite de calculer la somme des 12 premiers mois de l'année (de \(u_0\) pour janvier à \(u_{11}\) pour décembre).

Correction détaillée

1. Calcul et interprétation de \(u_1\) :
En appliquant la formule de récurrence : \(u_1 = u_0 \times 1,015 = 50 \times 1,015 = 50,75\).
Interprétation : En février 2018 (le mois suivant janvier), on compte 50 750 créations d'entreprises (soit 50,75 milliers).

2. Nature et expression fonctionnelle :
La suite \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 50\) et de raison \(q = 1,015\).
L'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) est donnée par la formule du cours : \(u_n = u_0 \times q^n\), soit \(u_n = 50 \times 1,015^n\).

3. Justification du total annuel :
L'année 2018 compte 12 mois. Le total des créations est la somme \(S = u_0 + u_1 + ... + u_{11}\).
La formule de la somme des termes d'une suite géométrique est : \(S = u_0 \times \frac{1 - q^{n}}{1 - q}\) avec \(n\) le nombre de termes.
Ici : \(S = 50 \times \frac{1 - 1,015^{12}}{1 - 1,015}\).
À la calculatrice : \(S \approx 50 \times \frac{-0,195618}{-0,015} \approx 50 \times 13,0412 \approx 652,06\).
Le résultat étant en milliers, cela représente environ 652 060 entreprises. Les propos du journaliste (652 000) sont donc justifiés.