Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des programmes de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'étude d'une évolution de population modélisée par une suite arithmético-géométrique. La structure est progressive : après une phase de calcul direct, on introduit une suite auxiliaire pour déterminer l'expression générale de la population, puis on termine par une exploitation de données (tableur) pour répondre à une problématique concrète.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser les points suivants :

• Définition d'une suite : Comprendre la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$.
• Suite géométrique : Savoir démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport $v_{n+1}/v_n$ ou en exprimant $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
• Expression fonctionnelle : Passer de la forme récurrente à la forme explicite ($u_n$ en fonction de $n$).
• Analyse de données : Savoir lire un tableau de valeurs issu d'un tableur et interpréter les rangs $n$ en années réelles.

Correction détaillée

1. Valeur et interprétation de $u_1$

Pour calculer $u_1$, on utilise la relation de récurrence avec $n=0$ :
$u_1 = 1,08 \times u_0 - 300 = 1,08 \times 10\,000 - 300 = 10\,800 - 300 = 10\,500$.
Interprétation : $u_1$ représente le nombre d'habitants de la ville en 2021 (car $2020 + 1 = 2021$).

2. Étude de la suite auxiliaire $(v_n)$

• a) Calcul de $v_0$ : $v_0 = u_0 - 3\,750 = 10\,000 - 3\,750 = 6\,250$.
• b) Nature de la suite : Exprimons $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
  $v_{n+1} = u_{n+1} - 3\,750 = (1,08u_n - 300) - 3\,750 = 1,08u_n - 4\,050$.
  Or, d'après la définition, $u_n = v_n + 3\,750$.
  Donc $v_{n+1} = 1,08(v_n + 3\,750) - 4\,050 = 1,08v_n + 4\,050 - 4\,050 = 1,08v_n$.
• c) Conclusion : La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_0 = 6\,250$ et de raison $q = 1,08$.
• d) Expression de $v_n$ : Pour tout $n$, $v_n = v_0 \times q^n = 6\,250 \times 1,08^n$.
• e) Expression de $u_n$ : Puisque $u_n = v_n + 3\,750$, on en déduit : $u_n = 6\,250 \times 1,08^n + 3\,750$.

3. Problématique de l'école

On cherche quand la population $u_n$ atteint 19 000 habitants. En observant le tableau :
- Pour $n = 11$, $u_{11} \approx 18\,323$.
- Pour $n = 12$, $u_{12} \approx 19\,489$.
Le seuil de 19 000 habitants est donc atteint l'année $2020 + 12 = 2032$.
La construction doit débuter deux ans avant, soit en 2030.