Analyse de l'énoncé : Modélisation par une suite
Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude d'une suite arithmético-géométrique dans un contexte concret : l'administration d'un médicament. La problématique centrale est de comprendre comment une quantité de substance évolue sous l'influence de deux facteurs opposés : une élimination naturelle (diminution en pourcentage) et un apport régulier (augmentation constante).
Points de vigilance et notions de cours
- Coefficients multiplicateurs : Une baisse de 20 % correspond à multiplier par 0,8 (soit \(1 - 0,20\)). C'est la base de la partie géométrique de la suite.
- Relation de récurrence : La forme \(U_{n+1} = aU_n + b\) est typique. Ici, \(a=0,8\) et \(b=1\).
- Limites : Pour une suite de ce type avec \(|a| < 1\), la suite converge vers une limite \(L\) telle que \(L = aL + b\).
- Algorithmique : Comprendre la structure d'une boucle 'Tant que' (While). La boucle s'arrête dès que la condition n'est plus vérifiée.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de \(U_1\) : On part de \(U_0 = 10\). Après une heure, 20 % sont éliminés, il reste donc \(10 \times 0,8 = 8\) ml. On ajoute ensuite l'injection horaire de 1 ml. On obtient bien \(U_1 = 8 + 1 = 9\).
2. Justification de la récurrence : Pour passer de l'heure \(n\) à l'heure \(n+1\), la quantité \(U_n\) subit une baisse de 20 %, ce qui revient à multiplier par \(0,8\). On ajoute ensuite l'injection constante de 1 ml. On a donc systématiquement \(U_{n+1} = 0,8 U_n + 1\).
3. Conjecture de la limite : En observant le graphique, on remarque que les points se rapprochent d'une droite horizontale d'équation \(y=5\). On peut conjecturer que \(\lim_{n \to +\infty} U_n = 5\).
4. Analyse de l'algorithme : L'algorithme cherche à déterminer le plus petit entier \(N\) tel que la quantité de médicament \(U_N\) devienne inférieure ou égale à 5,1 ml. C'est ce qu'on appelle un seuil de sortie.
5. Valeur de N : En consultant le tableau de valeurs fourni, on cherche la première valeur de \(U_n\) passant sous la barre des 5,1. On voit que \(U_{17} \approx 5,112\) (supérieur à 5,1) et \(U_{18} \approx 5,090\) (inférieur à 5,1). La boucle s'arrête donc quand \(N = 18\).