Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude d'une fonction produit mêlant une fonction affine ($t \mapsto 100t$) et la fonction exponentielle ($t \mapsto e^{-t}$). Ce type de modèle est classique au niveau Première Spécialité pour représenter des phénomènes d'évolution avec une phase de croissance rapide suivie d'une décroissance lente (modèle de diffusion ou de pollution).

Points de vigilance et notions requises

• La fonction exponentielle : Il faut se rappeler que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.
• Dérivation : Bien que la dérivée soit fournie ici par calcul formel, il est utile de savoir que $P(t)$ est de la forme $u(t) \times v(t)$ avec $u(t)=100t$ et $v(t)=e^{-t}$.
• Lecture graphique et contexte : La question 3 demande de faire le lien entre le modèle mathématique et la sécurité sanitaire (seuil de 5 mg/L).

Correction détaillée

1. Calcul des valeurs aux bornes :
$P(0) = 100 \times 0 \times e^0 = 0$.
$P(5) = 100 \times 5 \times e^{-5} = 500e^{-5} \approx 3$ (arrondi à l'unité).

2. Étude de la fonction :
a. Signe de $P'(t)$ : On a $P'(t) = 100(1 - t)e^{-t}$. Sur $[0 ; 5]$, $100 > 0$ et $e^{-t} > 0$. Le signe de $P'(t)$ dépend donc uniquement de celui de $(1 - t)$.
- $1 - t > 0 \iff t < 1$.
- $1 - t < 0 \iff t > 1$.
b. Variations : $P$ est croissante sur $[0 ; 1]$ et décroissante sur $[1 ; 5]$.
c. Maximum : Le maximum est atteint pour $t = 1$. Sa valeur est $P(1) = 100 \times 1 \times e^{-1} = 100/e \approx 37$ mg/L.

3. Application concrète :
On cherche quand $P(t) \le 5$ après le pic de pollution. En observant la courbe ou en testant des valeurs : $P(4) \approx 7,3$ et $P(4,5) \approx 4,99$. On peut donc considérer qu'après environ 4,5 heures (ou 4h30min), la pollution ne représente plus de danger.