Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) issu du sujet 42 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première. Il balaye un large spectre du programme : l'analyse (dérivation et tangentes), la géométrie analytique (produit scalaire et équations de droites), l'étude des suites numériques et enfin l'algorithmie avec le langage Python. Chaque question est indépendante, ce qui permet de tester la polyvalence de l'élève sur les notions fondamentales du cycle terminal.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont requises :
- Dérivation : Connaître la formule de l'équation de la tangente \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
- Géométrie repérée : Savoir calculer les coordonnées d'un vecteur \(\vec{AB}(x_B-x_A; y_B-y_A)\) et appliquer la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé : \(xx' + yy'\).
- Équations de droites : Identifier des droites parallèles à partir de leurs coefficients directeurs ou de leurs vecteurs normaux.
- Suites : Identifier la croissance d'une suite géométrique selon sa raison \(q\) et son terme initial.
- Python : Comprendre la structure d'une boucle while (tant que) et sa condition d'arrêt.
Correction détaillée
Question 1 : Soit \(g(x) = 2x^2 + 5x - 4\). Sa dérivée est \(g'(x) = 4x + 5\). Pour \(x=2\), on a \(g'(2) = 4(2) + 5 = 13\) et \(g(2) = 2(2^2) + 5(2) - 4 = 14\). L'équation est \(y = 13(x - 2) + 14 = 13x - 26 + 14 = 13x - 12\). La réponse correcte est la d.
Question 2 : Calculons les vecteurs : \(\vec{AD}(2-4; 11-8) = (-2; 3)\) et \(\vec{BD}(2-9; 11-6) = (-7; 5)\). Le produit scalaire est \(\vec{AD} \cdot \vec{BD} = (-2) \times (-7) + 3 \times 5 = 14 + 15 = 29\). La réponse correcte est la d.
Question 3 : La droite \(D\) a pour équation \(3x - 4y + 5 = 0\). Une droite parallèle aura une équation de la forme \(3x - 4y + c = 0\). En passant par \(A(4; 8)\), on a \(3(4) - 4(8) + c = 0\), soit \(12 - 32 + c = 0\), donc \(c = 20\). L'équation est \(3x - 4y + 20 = 0\). La réponse correcte est la c.
Question 4 : \(u_n = 10 \times (-1,2)^n\). Pour \(n = 3000\) (pair), \((-1,2)^{3000} = (1,2)^{3000}\). Comme \(1,2 > 1\), la puissance augmente indéfiniment. \(u_{3000} = 10 \times (1,2)^{3000}\), ce qui est largement supérieur à \(1000\). La réponse correcte est la c.
Question 5 : On cherche \(v_n \geq 100000\). La boucle while s'exécute tant que la condition d'arrêt n'est pas atteinte. On continue donc tant que \(V\) est strictement inférieur au seuil. La réponse correcte est la d.