Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu des épreuves de spécialité mathématiques de 2020, porte sur l'application concrète des outils d'analyse à un problème de physique/économie : la consommation de carburant d'un véhicule. L'étude se décompose en deux phases : une lecture graphique pour tester l'intuition et la précision, puis une modélisation algébrique rigoureuse utilisant la dérivation pour confirmer les observations.
Points de vigilance et notions requises
Pour traiter cet exercice, plusieurs compétences du programme de Première sont mobilisées :
- Lecture graphique : Identifier des images et des antécédents, et repérer l'abscisse du minimum d'une courbe.
- Calcul de dérivée : Maîtriser la dérivée d'un quotient (formule (u/v)' = (u'v - uv')/v²) ou, plus simplement ici, la dérivée des fonctions de type 1/x et 1/x² après simplification de l'expression.
- Étude de signe : Savoir que le signe de la dérivée détermine les variations de la fonction et permet de prouver l'existence d'un extremum.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Lecture graphique :
D'après le graphique, pour une vitesse de 40 km.h⁻¹, on lit une ordonnée de 5. La consommation est donc de 5 litres aux 100 km. Pour 8 litres, on cherche l'antécédent : la courbe passe par le point (100 ; 8), donc la vitesse est de 100 km.h⁻¹. Enfin, le point le plus bas de la courbe se situe aux alentours de x = 50 km.h⁻¹.
2. Modélisation et Dérivation :
La fonction est donnée par f(x) = (20x² - 1600x + 40000) / x². On peut simplifier l'expression avant de dériver : f(x) = 20 - 1600/x + 40000/x².
En dérivant terme à terme :
- La dérivée de 20 est 0.
- La dérivée de -1600/x est -1600 * (-1/x²) = 1600/x².
- La dérivée de 40000/x² est 40000 * (-2/x³) = -80000/x³.
En mettant au même dénominateur x³ : f'(x) = (1600x - 80000) / x³ = 800(2x - 100) / x³.
C'est bien la formule demandée.
3. Conclusion sur l'optimisation :
Sur l'intervalle [30 ; 130], x³ est strictement positif. Le signe de f'(x) dépend donc uniquement du binôme (2x - 100).
2x - 100 = 0 pour x = 50. La dérivée est négative sur [30 ; 50] (f décroit) et positive sur [50 ; 130] (f croit). La consommation est donc minimale pour une vitesse exacte de 50 km.h⁻¹, ce qui confirme notre conjecture graphique.