Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de 5 questions indépendantes. Il couvre une large partie du programme de Première Spécialité Mathématiques : les probabilités conditionnelles, la géométrie analytique (équations de droites), la trigonométrie et le calcul différentiel (dérivation).

Points de vigilance et notions requises

• Probabilités : Savoir compléter un arbre pondéré (la somme des probabilités issues d'un même nœud vaut 1) et appliquer la formule des probabilités totales.
• Géométrie repérée : Identifier un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ à partir d'une équation cartésienne $ax + by + c = 0$. Un vecteur normal à une droite $D$ est un vecteur directeur de n'importe quelle droite perpendiculaire à $D$.
• Trigonométrie : Connaître les valeurs remarquables du sinus et savoir que les fonctions trigonométriques sont périodiques (période $2\pi$).
• Dérivation : Maîtriser les formules de dérivation du quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ et l'équation de la tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Correction détaillée

Question 1 : On complète l'arbre. Puisque $P(A) = 0,6$, alors $P(B) = 1 - 0,6 = 0,4$. Dans la branche $A$, on a $P_A(\overline{E}) = 0,5$ donc $P_A(E) = 0,5$. Par la formule des probabilités totales : $P(E) = P(A \cap E) + P(B \cap E) = 0,6 \times 0,5 + 0,4 \times 0,3 = 0,3 + 0,12 = 0,42$. Réponse b.

Question 2 : L'équation de $D$ est $3x + y - 2 = 0$. Un vecteur normal à $D$ est $\vec{n}(3; 1)$. Par définition, un vecteur normal à $D$ est un vecteur directeur de toute droite perpendiculaire à $D$. Réponse d.

Question 3 : Sur le cercle trigonométrique, $\sin(x) = 1$ correspond au point le plus haut, soit $x = \pi/2$. Les solutions réelles sont de la forme $x = \pi/2 + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$). Il y a donc une infinité de solutions. Réponse b.

Question 4 : On calcule $f'(x)$ pour $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$. $f'(x) = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$. Pour $x=0$, $f'(0) = 2/1^2 = 2$ et $f(0) = 0$. L'équation de la tangente est $y = 2(x-0) + 0$, soit $y = 2x$. Réponse b.

Question 5 : Soit $f(x) = \frac{x-3}{x+2}$. On utilise $(u/v)'$ avec $u=x-3$ ($u'=1$) et $v=x+2$ ($v'=1$). $f'(x) = \frac{1(x+2) - 1(x-3)}{(x+2)^2} = \frac{x+2-x+3}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}$. Réponse c.