Analyse du Sujet 53 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Ce sujet de contrôle continu (E3C) de mai 2020 représente une synthèse parfaite du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il aborde les piliers fondamentaux : le second degré, la géométrie analytique, les probabilités conditionnelles, les suites numériques avec une dimension algorithmique en Python, et enfin l'étude de fonctions exponentielles.

D'une difficulté équilibrée, ce sujet évalue à la fois la maîtrise technique pure (QCM) et la capacité à modéliser des situations concrètes (croissance de bactéries, élimination d'un produit dopant).

Exercice 1 : QCM et Automatismes

L'exercice 1 se présente sous forme de QCM couvrant cinq thématiques distinctes. C'est un excellent test de réflexes pour les élèves.

• Question 1 (Second degré) : Il s'agit d'utiliser les relations entre racines. Pour une équation $ax^2 + bx + c = 0$, la somme est $S = -b/a$ et le produit est $P = c/a$. Piège classique : oublier de diviser par $a=2$.
• Question 2 (Trigonométrie) : Test sur les angles associés. La propriété $\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)$ est fondamentale.
• Question 3 (Géométrie repérée) : Lecture de l'équation d'un cercle. Attention aux signes dans $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 = R^2$. Ici, le centre est $(3 ; -0,5)$ et le rayon est $\sqrt{25/4} = 2,5$.
• Question 4 (Vecteur normal) : Déterminer l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ à partir d'un vecteur normal $\vec{n}(a;b)$. Le calcul de $c$ se fait par substitution du point $A$.
• Question 5 (Dérivation) : Utilisation de la règle $(uv)' = u'v + uv'$. La fonction exponentielle $e^x$ étant sa propre dérivée, la factorisation par $e^x$ est systématique.

Exercice 2 : Probabilités et Variables Aléatoires

Cet exercice de probabilités s'articule autour d'un arbre pondéré. La première difficulté réside dans le calcul de $p_T(S)$. L'énoncé donne $P(T \cap S) = 0,02$ et $P(T) = 0,08$. La formule de la probabilité conditionnelle $P_T(S) = P(T \cap S) / P(T)$ donne immédiatement $0,25$.

Conseil méthodologique : Toujours vérifier que la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. Pour la question 3, l'application de la formule des probabilités totales est indispensable pour trouver $P(\overline{S})$. Enfin, la partie sur la variable aléatoire $X$ (prix de vente) demande une lecture attentive pour associer chaque issue à la bonne valeur monétaire (0, 9 ou 14 euros) avant de calculer l'espérance mathématique.

Exercice 3 : Suites Numériques et Python

Ici, on étudie une suite arithmético-géométrique $P_{n+1} = (1+\alpha)P_n + \beta$.

• Algorithmie : Le script Python est un grand classique. Dans la boucle `for`, l'élève doit compléter la mise à jour de la variable : `P = 1.2 * P + 70`. Attention à la syntaxe Python (indentation).
• Modélisation : Dans la deuxième partie, l'augmentation de 9% se traduit par un coefficient multiplicateur de $1,09$. La suite devient donc géométrique (car $\beta = 0$).
• Justification du doublement : On cherche à vérifier si $P_9 \geq 2 \times P_0$. Le calcul $1,09^9 \approx 2,17$ confirme que la population a plus que doublé.

Exercice 4 : Analyse et Exponentielle

L'exercice final porte sur une fonction de type $f(x) = 3xe^{-0,4x}$. L'énoncé est bienveillant puisqu'il donne la dérivée $f'(x)$.

L'analyse du signe de $f'(x)$ repose uniquement sur le facteur $(-1,2x + 3)$ car l'exponentielle est toujours strictement positive. La résolution de l'inéquation $-1,2x + 3 > 0$ permet de trouver le seuil $x = 2,5$ heures.

Application concrète : La question sur le dopage demande d'interpréter le maximum de la fonction (atteint en $x=2,5$) et de calculer $f(6)$ pour le contrôle anti-dopage. Le calcul $f(6) = 3 \times 6 \times e^{-0,4 \times 6} = 18e^{-2,4} \approx 1,63$ mg/L. Comme $1,63 > 1,4$, le contrôle est positif.

Conclusion et Recommandations

Ce sujet balaye les compétences essentielles de la classe de Première. Pour réussir, l'accent doit être mis sur : 1. La rigueur dans le calcul des dérivées de produits. 2. La compréhension des mécanismes d'évolution (suites géométriques). 3. La lecture graphique et l'interprétation des résultats dans un contexte réel. Ce sujet 53 constitue un excellent entraînement pour stabiliser ces notions avant l'entrée en Terminale.