Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur une expérience aléatoire classique : le tirage successif avec remise dans une urne. L'énoncé se structure en deux parties majeures : la modélisation par un arbre pondéré et l'étude d'une variable aléatoire modélisant un gain financier. L'élément clé ici est la mention 'avec remise', qui garantit l'indépendance des deux épreuves successives. La probabilité d'obtenir une boule rouge ou noire reste constante à chaque étape (2/5 pour le rouge, 3/5 pour le noir).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions du programme de spécialité doivent être parfaitement maîtrisées :

• L'indépendance : Comme la boule est remise, les probabilités du second tirage ne dépendent pas du premier.
• La lecture d'un arbre : La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités rencontrées sur les branches. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• La variable aléatoire : Il faut savoir associer chaque issue (les feuilles de l'arbre) à une valeur numérique (le gain algébrique).
• L'espérance mathématique : Elle représente la moyenne des gains que l'on peut espérer obtenir si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Arbre pondéré : Au premier niveau, nous avons deux branches : R avec 2/5 (0,4) et N avec 3/5 (0,6). Au second niveau, pour chaque nœud, on retrouve les mêmes probabilités puisque le tirage se fait avec remise. On obtient ainsi 4 issues possibles : (R,R), (R,N), (N,R) et (N,N).

2. Probabilité de tirer deux boules rouges : L'événement correspond au chemin (R,R). En multipliant les probabilités le long des branches, on obtient : P(R ∩ R) = 2/5 × 2/5 = 4/25, soit 0,16.

3. Loi de probabilité de X : Identifions les gains pour chaque issue :

• (R,R) : 20 + 20 = 40€. Probabilité = 4/25.
• (R,N) : 20 - 10 = 10€. Probabilité = 2/5 × 3/5 = 6/25.
• (N,R) : -10 + 20 = 10€. Probabilité = 3/5 × 2/5 = 6/25.
• (N,N) : -10 - 10 = -20€. Probabilité = 3/5 × 3/5 = 9/25.

Les valeurs prises par X sont {-20, 10, 40}. La loi est : P(X=-20) = 9/25 ; P(X=10) = 12/25 (car 6/25 + 6/25) ; P(X=40) = 4/25. Vérification : 9/25 + 12/25 + 4/25 = 25/25 = 1.

4. Gagner de l'argent : Le joueur gagne de l'argent si X > 0, soit X=10 ou X=40. P(X > 0) = P(X=10) + P(X=40) = 12/25 + 4/25 = 16/25 = 0,64.

5. Espérance : E(X) = ∑ p_i x_i = (-20 × 9/25) + (10 × 12/25) + (40 × 4/25) = (-180 + 120 + 160) / 25 = 100 / 25 = 4. L'espérance est de 4 euros. Cela signifie qu'en jouant un grand nombre de parties, le joueur peut espérer gagner en moyenne 4 euros par partie.