Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice sous forme de QCM est une synthèse parfaite des notions fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il balaye cinq chapitres distincts : l'étude des fonctions du second degré (parabole et sommet), les probabilités conditionnelles (arbre pondéré), la trigonométrie (mesure d'angles orientés), la dérivation des fonctions composées avec l'exponentielle, et la définition des suites numériques.
Points de vigilance et notions de cours
- Second degré : Se souvenir que le sommet \(S\) d'une parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) a pour abscisse \(x_S = -\frac{b}{2a}\). L'axe de symétrie est la droite verticale \(x = x_S\).
- Probabilités : La formule des probabilités totales est cruciale pour calculer \(p(B)\), tandis que la formule de Bayes permet de calculer une probabilité inverse comme \(p_B(A)\).
- Trigonométrie : Deux points sont identiques sur le cercle si leur différence est un multiple de \(2\pi\).
- Dérivation : Appliquez la règle du produit \((uv)' = u'v + uv'\) pour la fonction \(x \mapsto xe^x\).
Correction détaillée
Question 1 : Pour \(y = 2x^2 + 4x - 11\), on a \(a=2, b=4\). \(x_S = -\frac{4}{2 \times 2} = -1\). On calcule l'ordonnée \(y_S = 2(-1)^2 + 4(-1) - 11 = 2 - 4 - 11 = -13\). Le sommet est \(S(-1 ; -13)\) et l'axe est \(x = -1\). Réponse C.
Question 2 : Calculons \(p(B)\) par la formule des probabilités totales : \(p(B) = p(A \cap B) + p(\overline{A} \cap B) = 0,6 \times 0,3 + 0,4 \times 0,2 = 0,18 + 0,08 = 0,26\). Puis \(p_B(A) = \frac{p(A \cap B)}{p(B)} = \frac{0,18}{0,26} = \frac{18}{26} = \frac{9}{13}\). Réponse D.
Question 3 : On cherche \(x\) tel que \(\frac{18\pi}{5} - x = 2k\pi\). En testant \(\frac{-12\pi}{5}\) : \(\frac{18\pi}{5} - (-\frac{12\pi}{5}) = \frac{30\pi}{5} = 6\pi = 3 \times 2\pi\). C'est bien un multiple de \(2\pi\). Réponse C.
Question 4 : \(f(x) = x e^x\). En posant \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^x\), on a \(f'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x\). Réponse B.
Question 5 : Une suite géométrique est de la forme \(u_n = q \times u_{n-1}\). La relation \(u_n = \frac{u_{n-1}}{2}\) équivaut à \(u_n = 0,5 \times u_{n-1}\), ce qui définit une suite géométrique de raison \(0,5\). Réponse A.