Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation concrète (la réduction des déchets) à l'aide des suites géométriques et de la programmation en Python. Le contexte est classique : une évolution en pourcentage se traduit systématiquement par une suite géométrique. Ici, une baisse de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de $0,98$. L'énoncé demande de manipuler le terme général, de calculer une somme de termes consécutifs et d'interpréter un script algorithmique.
Points de vigilance et notions requises
- Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une baisse de $t\%$ revient à multiplier par $(1 - t/100)$.
- Indices : Bien identifier que $a_0$ est le mois de décembre 2019. L'année 2020 commence donc à $a_1$ (janvier) et se termine à $a_{12}$ (décembre).
- Somme de termes : La formule est fournie, mais il faut être vigilant sur le premier terme utilisé ($u_1 = a_1$) et le nombre de termes ($12$ pour une année complète).
- Algorithmique : Comprendre la boucle
for k in range(n) et le mécanisme de l'accumulateur S = S + U.
Correction détaillée
1. Justification pour $a_2$
La production de déchets diminue de 2 % chaque mois. En janvier 2020 ($a_1$), elle est de : $120 \times (1 - 0,02) = 120 \times 0,98 = 117,6$ kg.
En février 2020 ($a_2$), elle est de : $117,6 \times 0,98 = 115,248$ kg. On arrondit bien à environ $115$ kg.
2. Nature et expression de la suite
a. Nature : Pour passer d'un mois au suivant, on multiplie toujours par $0,98$. La suite $(a_n)$ est donc une suite géométrique de premier terme $a_0 = 120$ et de raison $q = 0,98$.
b. Terme général : Pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = a_0 \times q^n$, soit $a_n = 120 \times 0,98^n$.
3. Quantité totale en 2020
L'année 2020 compte 12 mois, allant de janvier ($a_1$) à décembre ($a_{12}$). On cherche la somme $S = a_1 + a_2 + \dots + a_{12}$.
On utilise la formule avec $u_1 = a_1 = 117,6$ et $n = 12$ termes :
$S = 117,6 \times \frac{1 - 0,98^{12}}{1 - 0,98} = 117,6 \times \frac{1 - 0,98^{12}}{0,02} \approx 1264,95$.
La famille produira environ 1 265 kg de déchets en 2020.
4. Analyse du programme Python
L'instruction S(6) lance une boucle qui s'exécute 6 fois ($k$ allant de 0 à 5). À chaque itération :
- On calcule le terme suivant ($U$ devient successivement $a_1, a_2, \dots, a_6$).
- On l'ajoute à la variable $S$.
Le résultat renvoyé par S(6) représente la quantité totale de déchets produits par la famille A durant les 6 premiers mois de l'année 2020 (de janvier à juin inclus).