Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet 21 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en Première, porte sur l'utilisation du produit scalaire dans un repère orthonormé. L'objectif est de mobiliser les différentes définitions du produit scalaire (analytique avec les coordonnées et géométrique avec le projeté orthogonal) pour déterminer des caractéristiques d'un triangle ABC, notamment sa hauteur et son aire.

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul de coordonnées : Soyez rigoureux sur la formule $\vec{u}(x_B-x_A ; y_B-y_A)$. Une erreur de signe ici fausse tout l'exercice.
• Propriété du projeté orthogonal : Si D est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors pour tout vecteur colinéaire à (AB), le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ est égal à $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$.
• Relation de Chasles : Elle justifie souvent l'égalité du produit scalaire par décomposition : $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$.
• Calcul de l'aire : L'aire d'un triangle est $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, la base est $AB$ et la hauteur est $CD$.

Correction détaillée

1. Calcul du produit scalaire :
Calculons les coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}(3-4 ; 4-(-1)) = \vec{AB}(-1 ; 5)$ et $\vec{AC}(-1-4 ; 1-(-1)) = \vec{AC}(-5 ; 2)$.
Le produit scalaire est : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1) \times (-5) + 5 \times 2 = 5 + 10 = 15$.

2. a. Justification du projeté :
D est le projeté orthogonal de C sur (AB), donc le vecteur $\vec{DC}$ est orthogonal au vecteur $\vec{AB}$. On a $\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$.
Ainsi, $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} + \vec{DC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AB} \cdot \vec{DC}$.
Comme $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0$, on obtient bien $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 15$.

2. b. Longueur AD :
Puisque D appartient à la droite (AB), les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AD}$ sont colinéaires. Comme le produit scalaire est positif (15), ils sont de même sens. Donc $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = AB \times AD$.
Calculons $AB = \sqrt{(-1)^2 + 5^2} = \sqrt{26}$.
On en déduit $AD = \frac{15}{\sqrt{26}}$.

3. Hauteur issue de C :
La hauteur est la longueur $CD$. Dans le triangle ADC rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore : $CD^2 = AC^2 - AD^2$.
Calculons $AC^2 = (-5)^2 + 2^2 = 29$.
$CD^2 = 29 - \frac{225}{26} = \frac{29 \times 26 - 225}{26} = \frac{754 - 225}{26} = \frac{529}{26}$.
Donc $CD = \sqrt{\frac{529}{26}} = \frac{23}{\sqrt{26}}$.

4. Aire du triangle ABC :
$\mathcal{A} = \frac{AB \times CD}{2} = \frac{\sqrt{26} \times \frac{23}{\sqrt{26}}}{2} = \frac{23}{2} = 11,5$ unités d'aire.