Analyse de l'énoncé : Optimisation économique et calcul infinitésimal

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques aborde une thématique classique : l'application de l'analyse aux problèmes économiques. L'objectif est d'étudier une fonction de bénéfice $B(x)$, déduite d'un coût de production $C(x)$ et d'une recette linéaire $R(x)$. Le problème se divise en trois phases : la modélisation algébrique, l'étude de la variation via la dérivation (polynôme du second degré) et l'interprétation concrète du maximum.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences du programme de Première sont indispensables :

• Modélisation du bénéfice : Se souvenir que $B(x) = \text{Recette} - \text{Coût}$. Attention à bien distribuer le signe "moins" sur tous les termes du coût total.
• Dérivation : Maîtriser les formules de dérivation des puissances de $x$ ($x^n \rightarrow nx^{n-1}$).
• Second degré : Savoir calculer le discriminant $\Delta$ d'un trinôme pour déterminer le signe de la dérivée.
• Interprétation : Comprendre que le maximum d'une fonction est atteint là où sa dérivée s'annule en changeant de signe.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul du résultat pour 3 km :
La recette est $R(3) = 680 \times 3 = 2040$ €.
Le coût est $C(3) = 15(3)^3 - 120(3)^2 + 500(3) + 750 = 405 - 1080 + 1500 + 750 = 1575$ €.
Le bénéfice est $B(3) = 2040 - 1575 = 465$ €.

2. Expression de $B(x)$ :
On sait que $B(x) = R(x) - C(x)$.
$B(x) = 680x - (15x^3 - 120x^2 + 500x + 750)$
$B(x) = -15x^3 + 120x^2 + (680 - 500)x - 750$
$B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - 750$. La démonstration est cohérente.

3. Dérivée $B'(x)$ :
En appliquant les règles de dérivation ($x^3 \rightarrow 3x^2$ et $x^2 \rightarrow 2x$) :
$B'(x) = -15(3x^2) + 120(2x) + 180 = -45x^2 + 240x + 180$.

4. Tableau de signes et variations :
Résolvons $-45x^2 + 240x + 180 = 0$.
$\Delta = 240^2 - 4(-45)(180) = 57600 + 32400 = 90000 = 300^2$.
Les racines sont $x_1 = \frac{-240 - 300}{-90} = 6$ et $x_2 = \frac{-240 + 300}{-90} = -\frac{2}{3}$.
Sur l'intervalle $[0 ; 10]$, seule la racine $6$ est pertinente. Comme $a = -45 < 0$, le trinôme est positif entre les racines.
Signe de $B'(x)$ : Positif sur $[0 ; 6]$ et négatif sur $[6 ; 10]$.
Variations de $B$ : Croissante sur $[0 ; 6]$ puis décroissante sur $[6 ; 10]$.

5. Optimisation du résultat :
Le tableau de variations montre que le bénéfice maximal est atteint pour $x = 6$. L'entreprise doit donc produire 6 km de tissu.