Analyse de l'énoncé

Ce QCM de spécialité mathématiques balaie une large partie du programme de Première. Il évalue la capacité de l'élève à mobiliser rapidement des notions fondamentales sur les fonctions (exponentielle et second degré), les suites numériques et l'interprétation graphique de la dérivation.

Points de vigilance

• Question 1 : Bien connaître la forme $e^{kx}$. Sa dérivée est $k e^{kx}$.
• Question 2 : L'équation de l'axe de symétrie d'une parabole $ax^2 + bx + c$ est $x = -\frac{b}{2a}$.
• Question 3 : L'intersection de deux courbes se traduit par l'équation $a(x) = b(x)$. Le nombre de solutions dépend du discriminant $\Delta$.
• Question 4 : Formule de la somme des termes d'une suite géométrique : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.
• Question 5 : Une tangente horizontale signifie que le nombre dérivé est nul ($f'(x) = 0$).

Correction Détaillée

Question 1 : La fonction $g(x) = e^{100x}$ a pour dérivée $g'(x) = 100e^{100x}$. Comme $100 > 0$ et l'exponentielle est toujours positive, $g'(x) > 0$. La fonction est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Réponse a.

Question 2 : Pour $f(x) = 100x^2 + 10x + 1$, on a $a=100$ et $b=10$. L'axe de symétrie est $x = -\frac{10}{2 \times 100} = -\frac{10}{200} = -0,05$. Réponse d.

Question 3 : Résolvons $3x^2 + 15x + 1 = 25x^2 + 5x - 100$, ce qui donne $-22x^2 + 10x + 101 = 0$. Le discriminant $\Delta = 10^2 - 4(-22)(101) = 100 + 8888 = 8988$. Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes. Réponse c.

Question 4 : Il s'agit de la somme des 11 premiers termes (de $5^0$ à $5^{10}$) d'une suite géométrique de raison $q=5$. $S = 1 \times \frac{1 - 5^{11}}{1 - 5} = \frac{1 - 48\,828\,125}{-4} = 12\,207\,031$. Réponse d.

Question 5 : La courbe admet des tangentes horizontales en $x=-1$ et $x=3$. Par définition, $f'(-1) = 0$ et $f'(3) = 0$. Le produit $0 \times 0$ est égal à $0$. Réponse c.