Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM de 5 questions indépendantes, typique des épreuves de contrôle continu (E3C) de Première Spécialité Mathématiques. Il balaie une large partie du programme du tronc commun de spécialité : l'étude du second degré (signe et extremum) et la géométrie analytique dans le plan (équations de droites et de cercles).

Points de vigilance et Rappels de cours

• Second degré : Pour une inéquation \(ax^2 + bx + c \geqslant 0\), on cherche les racines via le discriminant \(\Delta\). Le trinôme est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines.
• Extremum : Une fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) admet un extremum en \(x = -\frac{b}{2a}\). Si \(a < 0\), c'est un maximum.
• Équation de cercle : L'équation cartésienne d'un cercle de centre \(\Omega(x_0; y_0)\) et de rayon \(R\) est \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\).
• Géométrie des droites : Une droite d'équation \(ax + by + c = 0\) possède un vecteur normal \(\vec{n}(a; b)\).

Correction détaillée

Question 1 : Pour \(2x^2 - 9x + 4 \geqslant 0\), on calcule \(\Delta = (-9)^2 - 4(2)(4) = 81 - 32 = 49\). Les racines sont \(x_1 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}\) et \(x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4\). Comme \(a = 2 > 0\), le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Réponse b.

Question 2 : \(g(x) = -x^2 + 4x\). C'est une parabole tournée vers le bas (\(a = -1\)). Le maximum est atteint en \(x = -\frac{4}{2(-1)} = 2\). La valeur du maximum est \(g(2) = -(2)^2 + 4(2) = 4\). Réponse b.

Question 3 : Vecteur normal \(\vec{n}(2; -5) \implies 2x - 5y + c = 0\). En injectant \(A(0; -7)\) : \(2(0) - 5(-7) + c = 0 \implies 35 + c = 0 \implies c = -35\). L'équation est \(2x - 5y - 35 = 0\). Réponse a.

Question 4 : \(x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \iff (x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 = 12 \iff (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25\). Le centre est \(A(2; -3)\) et le rayon est \(\sqrt{25} = 5\). Réponse c.

Question 5 : La droite \(d\) a pour vecteur normal \(\vec{n}(2; 3)\). Le vecteur \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((2 - (-2); 9 - 3) = (4; 6)\). On remarque que \(\vec{AB} = 2\vec{n}\), donc \(\vec{AB}\) est colinéaire au vecteur normal de \(d\). Par conséquent, la droite \((AB)\) est perpendiculaire à \(d\). Réponse a.