Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'application concrète des fonctions exponentielles dans un contexte économique. L'objectif est de modéliser le bénéfice d'une entreprise et d'en trouver l'optimum (maximum) grâce à la dérivation. L'une des difficultés majeures réside dans la gestion des unités : les prix sont en milliers d'euros, les quantités en millions d'unités et les résultats financiers en milliards d'euros.
Points de vigilance et notions clés
- La fonction exponentielle : Il faut se rappeler que $e^u$ est toujours strictement positif, ce qui simplifie l'étude de signe de la dérivée.
- Dérivée d'un produit : Bien que la dérivée soit donnée dans la question 4, savoir dériver $u \times v$ est essentiel pour ce type d'exercice.
- Lecture des unités : Pour $x = 1000$ euros, on utilise $x = 1$ dans la fonction car l'unité est le millier d'euros.
Correction détaillée pas à pas
1. Calcul des ventes pour 1000 € : Le prix est $x = 1$. On calcule $N(1) = 100 e^{-2} \approx 13,534$. En millions d'unités, cela représente environ 13 534 000 smartphones, soit 13 534 milliers d'unités une fois arrondi.
2. Vérification du bénéfice pour 1000 € : On a $B(x) = R(x) - C(x)$. Avec $x=1$, $R(1) = 1 \times N(1)$ et $C(1) = 0,4 \times N(1)$.
$B(1) = (1 - 0,4) \times N(1) = 0,6 \times 100 e^{-2} = 60 e^{-2} \approx 8,120$ milliards d'euros.
3. Expression du bénéfice :
$B(x) = R(x) - C(x) = x \cdot N(x) - 0,4 \cdot N(x) = (x - 0,4) \cdot 100 e^{-2x}$.
En développant, on obtient bien $B(x) = (100x - 40)e^{-2x}$.
4. Étude des variations : La dérivée est $B'(x) = (180 - 200x)e^{-2x}$.
Comme $e^{-2x} > 0$, le signe de $B'(x)$ dépend uniquement de $180 - 200x$.
$180 - 200x = 0 \iff x = 180/200 = 0,9$.
$B'(x) > 0$ sur $[0,4 ; 0,9]$ (fonction croissante) et $B'(x) < 0$ sur $[0,9 ; 2]$ (fonction décroissante).
5. Optimisation : Le bénéfice est maximal pour $x = 0,9$. Le prix de vente optimal est donc de 900 euros.