Analyse de l'énoncé
Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré. Il mobilise des compétences fondamentales du programme : la factorisation par identification ou développement, l'étude de signes via le discriminant (second degré), le calcul de dérivée et l'exploitation de la tangente à une courbe. L'objectif est de lier l'expression algébrique d'une fonction à sa représentation graphique et à ses propriétés de variation.
Points de vigilance et notions de cours
- Factorisation : Pour la question 1.a, la méthode la plus simple consiste à développer l'expression factorisée pour retrouver la forme initiale.
- Intersection avec les axes : L'intersection avec l'axe des abscisses correspond aux solutions de l'équation \(f(x) = 0\).
- Second degré : Savoir calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) pour déterminer le nombre de racines d'un trinôme.
- Dérivation : Appliquer la formule \((x^n)' = nx^{n-1}\). La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
- Tangente : Se souvenir de l'équation réduite \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Guide de résolution détaillé
1. Étude algébrique et racines
Dans la question 1.a, en développant \((x - 1)(8x^2 + 2x + 2)\), on obtient : \(8x^3 + 2x^2 + 2x - 8x^2 - 2x - 2\), ce qui se simplifie en \(8x^3 - 6x^2 - 2\). L'égalité est vérifiée. Pour la question 1.b, on résout \(f(x)=0\). Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. \(x-1=0 \implies x=1\). Pour le trinôme \(8x^2 + 2x + 2\), le discriminant \(\Delta = 2^2 - 4(8)(2) = 4 - 64 = -60\). Comme \(\Delta < 0\), ce trinôme n'a pas de racine réelle. La seule intersection est donc le point A(1 ; 0).
2. Variations de la fonction
La dérivée de \(f(x) = 8x^3 - 6x^2 - 2\) est \(f'(x) = 8 \times 3x^2 - 6 \times 2x = 24x^2 - 12x\). En factorisant par \(12x\), on obtient bien \(f'(x) = 12x(2x - 1)\). Les racines de la dérivée sont \(x = 0\) et \(x = 1/2\). Puisque le coefficient de \(x^2\) (24) est positif, la dérivée est positive à l'extérieur des racines. La fonction \(f\) est donc croissante sur \(]-\infty ; 0]\), décroissante sur \([0 ; 1/2]\) et croissante sur \([1/2 ; +\infty[\).
3. Tangente et point B
On cherche l'équation de la tangente au point d'abscisse \(a = 1/2\). On a \(f(1/2) = 8(1/8) - 6(1/4) - 2 = 1 - 1,5 - 2 = -2,5\). On sait que \(f'(1/2) = 0\) car \(1/2\) est une racine de la dérivée. L'équation de la tangente est \(y = 0(x - 1/2) + (-2,5)\), soit \(y = -2,5\). Le point B(0 ; -2,5) a une ordonnée de -2,5, il appartient donc bien à la droite d'équation \(y = -2,5\). La réponse est affirmative.