Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude de deux modèles d'évolution. La Partie A présente une approche purement mathématique avec une suite géométrique $u_n$ et une suite $v_n$ (dont on peut prouver qu'elle est arithmétique). La Partie B demande de réinvestir ces outils dans un contexte concret : le marché automobile (Diesel vs Essence).

Points de vigilance et notions clés

• Suites Géométriques : Pour une baisse de $6\%$, le coefficient multiplicateur est $q = 1 - 0,06 = 0,94$. La forme explicite est $u_n = u_0 \times q^n$.
• Suites Arithmétiques : En développant $v_n = 50(104 + 25n) = 5200 + 1250n$, on reconnaît une suite arithmétique de premier terme $v_0 = 5200$ et de raison $r = 1250$.
• Somme de termes : La formule de la somme des $k$ premiers termes d'une suite géométrique est $S = u_0 \frac{1-q^k}{1-q}$.
• Recherche de seuil : Pour comparer deux suites, on peut utiliser la calculatrice (menu Table) ou un algorithme pour déterminer quand $u_n < v_n$.

Correction Détaillée

Partie A :

1. La forme explicite de la suite géométrique est $u_n = 25000 \times 0,94^n$.
2. Les sept premiers termes vont de $n=0$ à $n=6$. La somme est $S = 25000 \times \frac{1 - 0,94^7}{1 - 0,94} \approx 146\,468$ (arrondi à l'unité).
3. Comparaison : $u_0 = 25000$ et $v_0 = 5200$, donc $u_0 > v_0$. Pour $n=20$ : $u_{20} = 25000 \times 0,94^{20} \approx 7253$ et $v_{20} = 50(104 + 25 \times 20) = 30200$. On a $u_{20} < v_{20}$.
4. Par tâtonnement à la calculatrice, on trouve $u_8 \approx 15240$ et $v_8 = 15200$ (toujours $u_n > v_n$). Puis $u_9 \approx 14325$ et $v_9 = 16450$. Le plus petit entier est $n=9$.

Partie B :

Le moteur Diesel suit le modèle $u_n$ (décroissance de $6\%$ par an) et le moteur Essence suit le modèle $v_n$ (augmentation constante de $1250$ unités). Les ventes d'Essence dépassent les ventes de Diesel pour $n=9$. L'année correspondante est $1995 + 9 = 2004$.