Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM est un excellent test de synthèse pour le programme de Première Spécialité. Il balaye des compétences fondamentales : la dérivation technique, l'interprétation graphique du second degré, le lien entre tangente et nombre dérivé, la géométrie analytique et enfin les propriétés du cercle trigonométrique.

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation : Connaître la formule du quotient $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Attention aux erreurs de signes lors de la distribution du signe 'moins'.
• Second degré : Identifier les racines $x_1$ et $x_2$ sur l'axe des abscisses pour la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Tangente : Le nombre dérivé $f'(a)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$.
• Trigonométrie : Savoir situer les signes du sinus et du cosinus selon le quadrant du cercle (ici $[\pi ; \frac{3\pi}{2}]$ correspond au 3ème quadrant, où sin et cos sont négatifs).

Correction détaillée

Question 1 : On pose $u(x) = 3x+1$ et $v(x) = -2x+5$. On a $u'(x) = 3$ et $v'(x) = -2$.
En appliquant la formule : $f'(x) = \frac{3(-2x+5) - (3x+1)(-2)}{(-2x+5)^2} = \frac{-6x+15+6x+2}{(-2x+5)^2} = \frac{17}{(-2x+5)^2}$.
Réponse correcte : b (ou c, les options étant identiques dans l'énoncé source).

Question 2 : La courbe coupe l'axe des abscisses en $x=1$ et $x=3$. La forme est donc $a(x-1)(x-3)$. Comme la parabole est tournée vers le bas, $a < 0$. On vérifie avec le sommet ou l'ordonnée à l'origine pour trouver $a = -2$.
Réponse correcte : b.

Question 3 : Le nombre $f'(0)$ est la pente de la tangente au point A(0, 2). En observant le quadrillage, pour une unité vers la droite, on monte d'une unité pour rester sur la droite (on passe de (0,2) à (1,3)). La pente est donc $1$.
Réponse correcte : c.

Question 4 : Calculons le vecteur directeur $\vec{GH}(5 ; 6)$. L'équation de la droite est de la forme $6x - 5y + c = 0$. Avec G(1 ; -2), on a $6(1) - 5(-2) + c = 0 \Rightarrow 6 + 10 + c = 0 \Rightarrow c = -16$. L'équation est $6x - 5y - 16 = 0$. Testons le point D(-14 ; -20) : $6(-14) - 5(-20) - 16 = -84 + 100 - 16 = 0$.
Réponse correcte : d.

Question 5 : On sait que $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Donc $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \frac{3}{4} + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = \frac{1}{4}$. Sur $[\pi ; \frac{3\pi}{2}]$, le sinus est négatif, donc $\sin x = -\frac{1}{2}$.
Réponse correcte : c.