Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des programmes de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'étude d'une évolution de population modélisée par une suite arithmético-géométrique. La structure est progressive : après une phase de calcul direct, on introduit une suite auxiliaire pour déterminer l'expression générale de la population, puis on termine par une exploitation de données (tableur) pour répondre à une problématique concrète.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser les points suivants :

• Définition d'une suite : Comprendre la relation de récurrence \(u_{n+1} = f(u_n)\).
• Suite géométrique : Savoir démontrer qu'une suite est géométrique en calculant le rapport \(v_{n+1}/v_n\) ou en exprimant \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\).
• Expression fonctionnelle : Passer de la forme récurrente à la forme explicite (\(u_n\) en fonction de \(n\)).
• Analyse de données : Savoir lire un tableau de valeurs issu d'un tableur et interpréter les rangs \(n\) en années réelles.

Correction détaillée

1. Valeur et interprétation de \(u_1\)

Pour calculer \(u_1\), on utilise la relation de récurrence avec \(n=0\) :
\(u_1 = 1,08 \times u_0 - 300 = 1,08 \times 10\,000 - 300 = 10\,800 - 300 = 10\,500\).
Interprétation : \(u_1\) représente le nombre d'habitants de la ville en 2021 (car \(2020 + 1 = 2021\)).

2. Étude de la suite auxiliaire \((v_n)\)

• a) Calcul de \(v_0\) : \(v_0 = u_0 - 3\,750 = 10\,000 - 3\,750 = 6\,250\).
• b) Nature de la suite : Exprimons \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) :
  \(v_{n+1} = u_{n+1} - 3\,750 = (1,08u_n - 300) - 3\,750 = 1,08u_n - 4\,050\).
  Or, d'après la définition, \(u_n = v_n + 3\,750\).
  Donc \(v_{n+1} = 1,08(v_n + 3\,750) - 4\,050 = 1,08v_n + 4\,050 - 4\,050 = 1,08v_n\).
• c) Conclusion : La suite \((v_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(v_0 = 6\,250\) et de raison \(q = 1,08\).
• d) Expression de \(v_n\) : Pour tout \(n\), \(v_n = v_0 \times q^n = 6\,250 \times 1,08^n\).
• e) Expression de \(u_n\) : Puisque \(u_n = v_n + 3\,750\), on en déduit : \(u_n = 6\,250 \times 1,08^n + 3\,750\).

3. Problématique de l'école

On cherche quand la population \(u_n\) atteint 19 000 habitants. En observant le tableau :
- Pour \(n = 11\), \(u_{11} \approx 18\,323\).
- Pour \(n = 12\), \(u_{12} \approx 19\,489\).
Le seuil de 19 000 habitants est donc atteint l'année \(2020 + 12 = 2032\).
La construction doit débuter deux ans avant, soit en 2030.