Introduction au Sujet 52 de Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 52 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de première est un excellent support de révision. Il balaye un large spectre du programme, allant de la géométrie analytique aux probabilités conditionnelles, sans oublier l'analyse de fonctions exponentielles et les suites numériques couplées à l'algorithmique Python. Sa difficulté est jugée modérée, ce qui en fait un outil parfait pour consolider ses bases avant les évaluations de contrôle continu (anciennes E3C).

Exercice 1 : QCM Multi-notions

Cet exercice de 5 points demande une grande polyvalence. La question 1 porte sur les suites : il faut savoir manipuler les puissances pour identifier une suite géométrique. Ici, l'expression de $u_n$ peut se transformer pour faire apparaître une raison égale à 5. La question 2 teste vos compétences en géométrie repérée. La clé réside dans le calcul du vecteur normal $\vec{AB}(4; 3)$ et l'utilisation du point $C$ pour fixer la constante de l'équation cartésienne.

La question 3 sur la trigonométrie nécessite de bien connaître son cercle trigonométrique, car l'équation porte sur $x + \pi$. La question 4 évalue la dérivation d'un quotient impliquant la fonction exponentielle. Le piège classique est d'oublier la règle $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$. Enfin, la question 5 sur le second degré demande d'analyser une forme canonique pour en déduire les variations et le signe de la fonction.

Exercice 2 : Probabilités et Variables Aléatoires

Cet exercice se concentre sur les probabilités conditionnelles dans un contexte de vente de bouquets de fleurs. Conseil méthodologique : La construction de l'arbre pondéré est l'étape la plus critique. Il faut bien distinguer les probabilités totales (comme les 72% de roses) des probabilités conditionnelles cachées dans l'énoncé.

La deuxième partie introduit une variable aléatoire $X$ liée aux tarifs. Pour réussir, il faut associer chaque branche terminale de l'arbre (Tulipe Orange, Tulipe Blanche, Rose Orange, Rose Blanche) à son prix respectif et calculer l'espérance mathématique. L'espérance $E(X)$ représente ici le prix moyen que le fleuriste peut espérer par client, un indicateur financier clé.

Exercice 3 : Analyse de Fonction Exponentielle

L'exercice 3 étudie la fonction $f(x) = 60x e^{-0.5x}$. C'est une étude de fonction très classique mais exigeante sur la rigueur de calcul. Notions clés : La dérivée nécessite l'utilisation de la formule du produit $(uv)'$. La présence de $e^{-0.5x}$ (de la forme $e^{u}$) implique que sa dérivée fait descendre le coefficient $-0.5$.

L'analyse du signe de $f'(x)$ permet de dresser le tableau de variations. Notez que la tangente horizontale correspond au point où la dérivée s'annule ($x=2$). L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est une application directe de la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$, indispensable à connaître par cœur.

Exercice 4 : Suites et Algorithmique Python

Le dernier exercice porte sur l'évolution d'un loyer. Il s'agit d'une suite géométrique de raison $1,0152$ (augmentation de 1,52%). Piège à éviter : Bien différencier le terme de la suite $u_n$ (loyer mensuel) et la somme $S$ calculée dans le programme Python (loyer annuel cumulé).

Le script Python utilise une boucle `while` pour sommer les loyers annuels ($7800 \times 1,0152^n$). La valeur $7800$ provient de $650 \times 12$. L'interprétation de `somme(1)` correspond au cumul des loyers perçus sur les deux premières années (2019 et 2020). Pour calculer la somme de 2022 à 2027, la méthode la plus rapide est d'effectuer la différence entre deux appels de la fonction Python.

Conclusion

Le sujet 52 est complet et représentatif des exigences de la Première Spécialité Mathématiques. Il combine technicité calculatoire (dérivation, trigonométrie) et réflexion appliquée (probabilités, suites). Maîtriser ce sujet assure une base solide pour aborder sereinement l'année de Terminale.