Introduction au Sujet 43 - Première Spécialité Mathématiques

Le sujet 43 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première offre un tour d'horizon complet du programme. D'une difficulté modérée, il permet de tester les compétences fondamentales en analyse, algèbre, géométrie analytique et probabilités. Ce sujet est particulièrement représentatif des anciennes épreuves E3C (Épreuves Communes de Contrôle Continu), demandant à la fois de la rigueur calculatoire et une capacité d'interprétation graphique.

Exercice 1 : QCM Multi-notions (5 points)

Cet exercice de type Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balaie cinq thématiques distinctes. La Question 1 porte sur la dérivation d'un quotient. Le piège classique réside dans l'application de la formule (u/v)' = (u'v - uv')/v². Une erreur de signe sur le terme -uv' est fréquente.

La Question 2 demande d'identifier la forme factorisée d'un polynôme du second degré à partir de ses racines graphiques (1 et 3) et de la concavité de la parabole. La Question 3 sollicite la lecture graphique du nombre dérivé f'(0), qui correspond au coefficient directeur de la tangente au point A. Pour la Question 4, il s'agit de vérifier l'appartenance d'un point à une droite définie par deux points G et H, nécessitant l'établissement d'une équation de droite ou l'utilisation de la colinéarité des vecteurs.

Enfin, la Question 5 mobilise la trigonométrie. Sur l'intervalle [π ; 3π/2], le sinus est négatif. En utilisant la relation fondamentale cos²x + sin²x = 1, on en déduit la valeur exacte.

Exercice 2 : Suites numériques et Python (5 points)

Cet exercice contextualisé compare deux évolutions salariales. C'est un grand classique : l'un suit une progression arithmétique (Camille, +600€) et l'autre une progression géométrique (Dominique, +4%).

• Modélisation : Il est crucial d'identifier immédiatement que u_n est une suite arithmétique de raison r = 600 et v_n est une suite géométrique de raison q = 1,04.
• Algorithmique : La complétion du script Python demande de traduire ces évolutions dans une boucle while. La condition d'arrêt doit être A >= B (ou while B < A) pour trouver le moment où le salaire de Dominique dépasse celui de Camille. N'oubliez pas l'incrémentation de l'année n = n + 1.

Exercice 3 : Géométrie repérée et Produit Scalaire (5 points)

La géométrie analytique est ici mise à l'honneur. L'exercice commence par l'établissement d'équations cartésiennes. Pour la droite passant par C avec un vecteur normal donné, on utilise la formule a(x - x_C) + b(y - y_C) = 0.

La question sur l'angle AEC est la plus technique. Bien que l'énoncé donne les longueurs, l'utilisation du produit scalaire via la formule u · v = ||u|| × ||v|| × cos(θ) est la méthode la plus efficace. En calculant les coordonnées des vecteurs EA et EC, on obtient le produit scalaire, puis le cosinus, et enfin l'angle via la fonction arccos de la calculatrice. Attention à bien vérifier que votre calculatrice est en mode degrés.

Exercice 4 : Variables Aléatoires et Espérance (5 points)

Ce problème de probabilités discrètes se concentre sur le gain algébrique X. Le calcul de l'espérance E(X) permet de déterminer si le jeu est équitable (E=0). Les calculs de variance et d'écart-type mesurent la dispersion des gains, une compétence clé du chapitre sur les variables aléatoires.

La dernière question est une recherche d'optimisation : combien de billes vertes ajouter pour modifier l'espérance ? Soit n le nombre de billes vertes à ajouter. L'univers comporte alors 100 + n billes. Il faut poser l'équation E(X) = -1 et résoudre pour n. C'est une question de réflexion qui sépare souvent les très bonnes copies des copies moyennes.

Conseils Méthodologiques pour réussir

Pour briller sur ce type de sujet, la rédaction est primordiale. En géométrie, explicitez toujours vos vecteurs. En probabilités, présentez votre loi sous forme de tableau clair. Pour le Python, respectez les indentations lors de la recopie sur table. Enfin, la maîtrise de la calculatrice pour vérifier les dérivées ou les résultats de suites est un atout indispensable pour éviter les erreurs d'étourderie.