Introduction au Sujet 3 de 2020

Le Sujet 3 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première constitue une excellente base de révision pour les évaluations communes. Ce sujet couvre un spectre très large du programme, allant des probabilités discrètes à la géométrie analytique, sans oublier l'analyse de fonctions et les suites numériques. Globalement, ce sujet est considéré comme équilibré : il teste à la fois la compréhension conceptuelle et l'agilité calculatoire.

Exercice 1 : QCM Multi-notions (5 points)

L'exercice 1 est un QCM qui balaie plusieurs chapitres. Il demande une grande polyvalence.

• Question 1 & 2 : Variables Aléatoires et Probabilités. On y traite l'espérance mathématique d'une variable de gain et les formules de base des probabilités (union et intersection). La clé ici est de bien construire son arbre pour la question 1 et d'utiliser la formule P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) pour la question 2.
• Question 3 : Probabilités conditionnelles. L'utilisation de l'arbre et de la loi des probabilités totales est indispensable pour retrouver la valeur de l'inconnue x.
• Question 4 : Dérivation et lecture graphique. On attend de l'élève qu'il sache que le nombre dérivé f'(a) correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a. Un piège classique est de confondre la valeur de la fonction f(a) avec celle de sa dérivée.
• Question 5 : Python et Algorithmie. Il s'agit d'une boucle while. L'élève doit être capable de simuler les étapes de calcul mentalement ou au brouillon pour déterminer la valeur de sortie.

Exercice 2 : Suites Arithmétiques et Carrelage (5 points)

Cet exercice de suites utilise un contexte géométrique (pose de carreaux hexagonaux) pour introduire une suite arithmétique. C'est un grand classique du niveau première.

Notions clés : Identification de la raison (r = 6), expression du terme général u_n = u_1 + (n-1)r, et calcul de la somme des termes. L'originalité réside dans la dernière question où l'on demande de résoudre une équation du second degré (3n² + 3n + 1 = 2977) pour trouver le nombre d'étapes. Le calcul du discriminant (Δ) est ici incontournable.

Conseil : Ne pas oublier d'inclure le carreau central initial dans le décompte total, une erreur d'inattention est vite arrivée sur ce type de problème concret.

Exercice 3 : Optimisation et Fonction Exponentielle (5 points)

L'exercice 3 porte sur l'étude d'une fonction liée à la fonction exponentielle dans un but d'optimisation de surface.

Analyse technique : La fonction de surface g(x) = 4xe^(-0,5x) est un produit de la forme (u × v). La dérivation demande de maîtriser parfaitement la règle (u'v + uv') ainsi que la dérivée de e^(ax) qui est a × e^(ax). La résolution de l'équation g'(x) = 0 permet de trouver le maximum. L'élève doit dresser un tableau de variations complet pour justifier l'existence de ce maximum sur l'intervalle [0 ; 5].

Piège à éviter : Bien vérifier l'unité (m²) et penser à convertir en dm² pour l'arrondi final comme demandé par l'énoncé.

Exercice 4 : Géométrie Repérée et Produit Scalaire (5 points)

Le dernier exercice mêle géométrie analytique (équations de droites et de cercles) et produit scalaire.

• Équations : Savoir établir l'équation d'un cercle à partir de son diamètre nécessite de connaître la formule de la distance ou d'utiliser le produit scalaire (MA ⋅ MB = 0).
• Hauteur et Projection : La recherche du projeté orthogonal H est un exercice classique mais calculatoire. Il faut traduire que H appartient à la droite (BD) et que le vecteur EH est orthogonal au vecteur directeur de (BD).
• Angle : La dernière question utilise la définition du produit scalaire avec le cosinus : u ⋅ v = ||u|| × ||v|| × cos(θ). C'est l'outil le plus efficace pour calculer un angle dans un repère orthonormé.

Conclusion

Ce sujet 3 de 2020 est complet et exigeant sur la rédaction. Il valorise les élèves capables de faire le lien entre différentes branches des mathématiques, comme l'usage du second degré pour résoudre un problème de suites ou l'usage de l'exponentielle pour un calcul d'aire. Un entraînement idéal pour réussir sa Première Spécialité.