Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des probabilités en classe de Première Spécialité. Il porte sur la notion de variable aléatoire réelle, de loi de probabilité et d'indicateurs de position et de dispersion (espérance, variance, écart-type). L'enjeu est de bien distinguer le gain brut du gain algébrique (qui inclut la mise initiale).

Points de vigilance et notions de cours

• Gain algébrique : Attention à toujours soustraire la mise (ici 2 jetons) aux gains annoncés pour obtenir les valeurs de $X$.
• L'espérance $E(X)$ : Elle représente la moyenne des gains sur un grand nombre de parties. Un jeu est dit équitable si $E(X) = 0$.
• La variance $V(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$ : Ils mesurent la dispersion des gains autour de la moyenne (le risque).
• Modélisation : La seconde partie demande de transformer une situation concrète en équation mathématique en modifiant l'effectif total.

Correction détaillée

1. Étude de la loi de probabilité

Le nombre total de billes est de 100. Les probabilités sont calculées par le rapport effectif/total :
- $P(X = 6)$ (Rouge) : $10/100 = 0,1$. Gain : $8 - 2 = 6$.
- $P(X = 2)$ (Blanche) : $30/100 = 0,3$. Gain : $4 - 2 = 2$.
- $P(X = -2)$ (Verte) : $60/100 = 0,6$. Gain : $0 - 2 = -2$.
Le tableau fourni est donc bien vérifié.

2. Espérance et Équité

$E(X) = (-2 \times 0,6) + (2 \times 0,3) + (6 \times 0,1) = -1,2 + 0,6 + 0,6 = 0$. L'espérance étant nulle, le jeu est parfaitement équitable.

3. Variance et Écart-type

$V(X) = 0,6 \times (-2 - 0)^2 + 0,3 \times (2 - 0)^2 + 0,1 \times (6 - 0)^2 = 0,6 \times 4 + 0,3 \times 4 + 0,1 \times 36 = 2,4 + 1,2 + 3,6 = 7,2$.
$\sigma(X) = \sqrt{7,2} \approx 2,68$ jetons.

4. Modification du jeu

Soit $n$ le nombre de billes vertes ajoutées. Le nouveau total est $100 + n$.
La nouvelle espérance est : $E(X) = \frac{6 \times 10 + 2 \times 30 - 2 \times (60 + n)}{100 + n} = -1$.
$\frac{60 + 60 - 120 - 2n}{100 + n} = -1 \implies \frac{-2n}{100 + n} = -1 \implies 2n = 100 + n \implies n = 100$.
Il faut ajouter 100 billes vertes.