Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent test de synthèse pour le milieu d'année de Première Spécialité. Il couvre deux piliers majeurs du programme : les suites numériques (arithmétiques et géométriques) et l'étude des fonctions du second degré sous leurs formes canonique et développée.

Points de vigilance et notions requises

• Suites : Il est crucial de connaître la relation entre deux termes quelconques d'une suite arithmétique \(u_n = u_p + (n-p)r\) et la formule de la somme des premiers entiers naturels.
• Second degré : La maîtrise de la forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\) est indispensable pour identifier les variations sans passer par la dérivée. Pour les inéquations, le calcul des racines et la règle du signe du trinôme sont requis.

Correction détaillée

Question 1 : Pour une suite arithmétique, la raison \(r\) vérifie \(u_{10} = u_4 + (10-4)r\). Ainsi, \(18 = 3 + 6r\), d'où \(6r = 15\) soit \(r = 2,5\). On teste alors la proposition (c) : \(u_{12} = u_{10} + 2r = 18 + 2 \times 2,5 = 23\). Réponse c.

Question 2 : La somme des entiers de 1 à \(n\) est donnée par \(\frac{n(n+1)}{2}\). Pour \(n=1000\), la somme est \(\frac{1000 \times 1001}{2} = 500500\). L'énoncé demande la somme de 2 à 1000, il faut donc soustraire le premier terme (1) : \(500500 - 1 = 500499\). Réponse d.

Question 3 : La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = 0,3\). Comme \(-1 < 0,3 < 1\), la limite d'une telle suite est toujours \(0\), quel que soit le premier terme \(v_0\). Réponse a.

Question 4 : La fonction est sous forme canonique avec \(a = -2\), \(\alpha = -2\) et \(\beta = -3\). Puisque \(a < 0\), la parabole est tournée vers le bas. La fonction est donc croissante sur \(]-\infty ; -2]\) et décroissante sur \([-2 ; +\infty[\). La proposition (b) est donc exacte. Réponse b.

Question 5 : Pour \(x^2 - 5x + 6 < 0\), on cherche les racines. Le discriminant est \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\). Les racines sont \(x_1 = \frac{5-1}{2} = 2\) et \(x_2 = \frac{5+1}{2} = 3\). Le coefficient \(a=1\) est positif, donc le trinôme est négatif strictement entre les racines. Réponse c.