Analyse de l'énoncé : Modélisation et Suites Numériques

Cet exercice est un classique des épreuves de Première Spécialité. Il porte sur l'application concrète des suites géométriques et l'introduction aux suites arithmético-géométriques via un script Python. Le scénario repose sur la gestion du volume d'eau d'une piscine, un contexte idéal pour manipuler les pourcentages de diminution et les relations de récurrence.

Points de vigilance et notions de cours

• Coefficient multiplicateur : Une baisse de 4 % correspond à une multiplication par (1 - 0,04), soit 0,96. C'est l'étape cruciale pour définir la raison de la suite.
• Nature de la suite : Pour justifier qu'une suite est géométrique, il faut montrer que l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même constante (la raison q).
• Formule explicite : Ne pas confondre la formule de récurrence ($V_{n+1} = q \times V_n$) avec la forme explicite ($V_n = V_0 \times q^n$).
• Algorithmique : Dans une boucle while, la condition doit être celle qui maintient la boucle active. Si on cherche quand le volume descend sous 70, on continue de boucler tant qu'il est supérieur ou égal à 70.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Calcul du premier terme :
Le volume initial est $V_0 = 80$. Une semaine plus tard, la perte est de $80 \times 0,04 = 3,2$ m³. Le volume restant est donc $80 - 3,2 = 76,8$ m³.

2. Étude de la suite $(V_n)$ :
a) Chaque semaine, le volume est multiplié par $0,96$ car une baisse de 4 % revient à calculer $100\% - 4\% = 96\%$ du volume précédent. On a donc $V_{n+1} = 0,96 V_n$. La suite $(V_n)$ est une suite géométrique de premier terme $V_0 = 80$ et de raison $q = 0,96$.
b) Par propriété du cours, l'expression explicite est : $V_n = 80 \times 0,96^n$.
c) Pour $n = 7$, on calcule $V_7 = 80 \times 0,96^7$. À la calculatrice, on trouve environ $60,11$ m³.

3. Algorithme Python :
Dans cette partie, le modèle change car on ajoute 2 m³ par semaine. La nouvelle relation est $V_{n+1} = 0,96V_n + 2$. Voici le code complété :

def nombreJour(U) :
    N=0
    V= 80
    while V >= U :
        N = N + 1
        V = 0.96 * V + 2
    return N

Explication du code : La boucle while V >= U signifie : "Tant que le volume est supérieur ou égal au seuil U (ici 70), on continue d'avancer dans le temps". Dès que V passe sous U, la condition devient fausse, la boucle s'arrête et on renvoie le nombre de semaines N.