Analyse de l'épreuve

Cet exercice, issu des épreuves communes de contrôle continu (E3C) de 2020, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format exige une grande rigueur : une erreur de calcul ou une confusion de formule mène directement à une réponse erronée, bien qu'aucune justification ne soit demandée sur la copie. L'exercice balaie deux pans majeurs du programme de Première Spécialité : l'analyse (fonction exponentielle) et la géométrie analytique (équations de droites et de cercles).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisables :

• Propriétés de l'exponentielle : Il est crucial de savoir que la fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb{R}$ et de maîtriser les règles de calcul ($e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ et $(e^{a})^n = e^{an}$).
• Dérivation : La formule de dérivation des fonctions composées du type $e^{u(x)}$ est un classique des épreuves.
• Géométrie repérée : Savoir passer d'un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$ à l'équation cartésienne $ax + by + c = 0$ et identifier le centre d'un cercle par la méthode de complétion du carré (formes canoniques).

Correction Détaillée

Question 1 : Signe de l'exponentielle

Par définition, pour tout réel $X$, $e^X > 0$. Ici, en posant $X = -2x$, l'expression $e^{-2x}$ reste strictement positive quelle que soit la valeur de $x$. L'ensemble des solutions est donc $\mathbb{R}$.
Réponse correcte : a.

Question 2 : Développement algébrique

Nous utilisons l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(e^x - 1)^2 = (e^x)^2 - 2 \times e^x \times 1 + 1^2$.
En appliquant la règle $(e^x)^2 = e^{2x}$, on obtient : $e^{2x} - 2e^x + 1$.
Réponse correcte : c.

Question 3 : Dérivée de $e^{u}$

La fonction est de la forme $f(x) = e^{u(x)}$ avec $u(x) = 5x - 1$. La dérivée est donnée par $f'(x) = u'(x)e^{u(x)}$.
Ici, $u'(x) = 5$, donc $f'(x) = 5e^{5x-1}$.
Réponse correcte : c.

Question 4 : Équation de droite

Le vecteur $\vec{n}(-1; 3)$ est normal à la droite, donc l'équation est de la forme $-1x + 3y + c = 0$.
On utilise le point $A(4; 7)$ pour trouver $c$ :
$-1(4) + 3(7) + c = 0 \Rightarrow -4 + 21 + c = 0 \Rightarrow 17 + c = 0 \Rightarrow c = -17$.
L'équation est $-x + 3y - 17 = 0$.
Réponse correcte : d.

Question 5 : Centre du cercle

L'équation est $x^2 - 4x + (y + 3)^2 = 3$.
Pour trouver le centre, on transforme $x^2 - 4x$ en début de carré : $(x - 2)^2 - 4$.
L'équation devient : $(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 = 3$, soit $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 7$.
Sous la forme $(x - x_{\Omega})^2 + (y - y_{\Omega})^2 = R^2$, le centre $\Omega$ a pour coordonnées $(2; -3)$.
Réponse correcte : b.