Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution de deux populations (villes A et B) à l'aide de suites numériques. La ville A subit une évolution en pourcentage (croissance géométrique), tandis que la ville B subit une évolution constante en valeur absolue (croissance arithmétique). C'est un grand classique du programme de Première Spécialité qui combine calculs de termes, expressions générales et programmation.
Points de vigilance
- Taux d'évolution : Une augmentation de 2 % correspond à un coefficient multiplicateur de \(1 + \frac{2}{100} = 1,02\).
- Décalage temporel : L'année \(2010 + n\) signifie que pour 2010, \(n=0\), et pour 2020, \(n=10\).
- Structure de l'algorithme : La boucle
while (Tant que) doit s'arrêter dès que la condition est fausse ; il faut donc réfléchir à la condition de maintien (U < V).
Correction Détaillée
1. Calcul des populations en 2011
En 2011, \(n = 1\).
Pour la ville A : \(u_1 = 4600 \times (1 + 0,02) = 4600 \times 1,02 = 4692\).
Pour la ville B : \(v_1 = 5100 + 110 = 5210\).
2. Nature des suites
La suite \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_0 = 4600\) et de raison \(q = 1,02\) car on multiplie par un même nombre chaque année.
La suite \((v_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \(v_0 = 5100\) et de raison \(r = 110\) car on ajoute une valeur constante chaque année.
3. Expression de \(u_n\) et population en 2020
Pour une suite géométrique : \(u_n = u_0 \times q^n\).
Ici, \(u_n = 4600 \times 1,02^n\).
En 2020 (\(n=10\)) : \(u_{10} = 4600 \times 1,02^{10} \approx 5607\) habitants (arrondi à l'unité).
4. Expression de \(v_n\) et population en 2020
Pour une suite arithmétique : \(v_n = v_0 + n \times r\).
Ici, \(v_n = 5100 + 110n\).
En 2020 (\(n=10\)) : \(v_{10} = 5100 + 110 \times 10 = 5100 + 1100 = 6200\) habitants.
5. Complétion de l'algorithme Python
L'objectif est de trouver \(n\) tel que \(u_n > v_n\). La boucle doit donc tourner tant que \(u\) est inférieur ou égal à \(v\).
def année():
u = 4600
v = 5100
n = 0
while u <= v:
u = u * 1.02
v = v + 110
n = n + 1
return n