Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution de la valeur d'un actif (ici, une voiture) à l'aide d'une suite numérique. C'est un grand classique du programme de Première Spécialité qui combine les notions de taux d'évolution, de suites géométriques et de programmation Python via un algorithme de seuil.
Points de vigilance et notions de cours
- Taux d'évolution et coefficient multiplicateur : Une diminution de 10 % correspond à multiplier par $1 - 0,10 = 0,9$.
- Identification de la suite : Reconnaître la forme $u_{n+1} = q \times u_n$ qui caractérise une suite géométrique.
- Calcul de terme général : Savoir utiliser la formule $u_n = u_0 \times q^n$.
- Algorithmique (Python) : Comprendre la structure d'une boucle
while. La condition de la boucle est la condition de maintien (tant que la valeur est supérieure au seuil, on continue).
Correction détaillée
1. Calcul et justification
a. $u_1 = u_0 \times 0,9 = 10\,000 \times 0,9 = 9\,000$. En janvier 2026, la voiture vaut $9\,000$ euros.
b. Diminuer une valeur de 10 % revient à la multiplier par $1 - \frac{10}{100} = 0,9$. On a donc bien $u_{n+1} = 0,9u_n$.
2. Nature de la suite
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 10\,000$ et de raison $q = 0,9$.
3. Terme général et application
a. $u_n = u_0 \times q^n = 10\,000 \times 0,9^n$.
b. Janvier 2030 correspond à $n = 2030 - 2025 = 5$. On calcule $u_5 = 10\,000 \times 0,9^5$. D'après l'aide au calcul, $0,9^5 = 0,59049$.
$u_5 = 10\,000 \times 0,59049 = 5\,904,9$. La valeur est de $5\,904,90$ euros.
4. Programme Python
Le programme complété est :
while U >= A:
U = U * 0.9
5. Interprétation et conclusion
a. L'appel seuil(5000) renvoie 7. Cela signifie que 7 ans après 2025, soit en 2032, la valeur de la voiture passera pour la première fois en dessous de $5\,000$ euros.
b. Perdre plus des trois quarts de sa valeur signifie que la valeur restante est inférieure à un quart de la valeur initiale. $\frac{1}{4} \times 10\,000 = 2\,500$. D'après les résultats fournis, seuil(2500) renvoie 14. L'année cherchée est $2025 + 14 = 2039$.