Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation d'une croissance hebdomadaire de visionnages de vidéos par une suite numérique. Le point de départ est une valeur initiale de 120 000 visionnages, avec une croissance constante de 2 %. Cette situation est typique d'une progression géométrique. L'exercice évalue la capacité de l'élève à passer d'un énoncé concret à une modélisation mathématique (suite), à utiliser des algorithmes de recherche de seuil et à appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.

Points de vigilance et notions de cours

• Taux d'évolution : Une augmentation de 2 % correspond à une multiplication par un coefficient multiplicateur $q = 1 + \frac{2}{100} = 1,02$.
• Nature de la suite : Il faut identifier immédiatement que $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 120\,000$ et de raison $q = 1,02$.
• Somme de termes : La formule de la somme des termes d'une suite géométrique est $S = \text{Premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$. Pour une somme de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes.
• Algorithmique : Comprendre la structure d'une boucle while (tant que) qui permet de s'arrêter dès qu'une condition n'est plus vérifiée (ici, dès que le seuil de 400 000 est atteint).

Correction détaillée

1. Calcul de $u_1$ : $u_1 = u_0 \times 1,02 = 120\,000 \times 1,02 = 122\,400$.

2. Formule explicite : Puisque $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $1,02$, on a pour tout $n$, $u_n = u_0 \times q^n$, soit $u_n = 120\,000 \times 1,02^n$.

3. Recherche de seuil : On cherche $n$ tel que $u_n > 150\,000$. Soit $120\,000 \times 1,02^n > 150\,000$, ce qui donne $1,02^n > 1,25$. À l'aide de la calculatrice (menu table), on trouve $1,02^{11} \approx 1,243$ et $1,02^{12} \approx 1,268$. Le nombre de visionnages sera supérieur à 150 000 à partir de 12 semaines.

4. Algorithme Python : L'algorithme calcule le plus petit entier $n$ tel que $u_n \ge 400\,000$. Par tâtonnement ou logarithme, on résout $1,02^n \ge \frac{400\,000}{120\,000} \approx 3,33$. On obtient $n = 61$. L'algorithme renverra 61. Cela signifie que l'objectif des dirigeants (400 000 visionnages par semaine) sera atteint après 61 semaines.

5. Somme des termes : $S_n = u_0 \frac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02} = \frac{120\,000}{-0,02}(1-1,02^{n+1}) = -6\,000\,000(1-1,02^{n+1}) = 6\,000\,000(1,02^{n+1}-1)$. Pour le nombre total de visionnages au bout de 52 semaines (de $u_0$ à $u_{51}$), on calcule $S_{51} = 6\,000\,000(1,02^{52}-1) \approx 10\,801\,860$.