Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques en classe de Première Spécialité. Il articule deux notions fondamentales du programme : le second degré et la dérivation. L'objectif est de montrer comment l'étude d'un trinôme de référence permet de déterminer le comportement d'une fonction de degré supérieur (ici, une fonction cubique). La structure en deux parties est pédagogique, guidant l'élève de la résolution algébrique pure vers l'application analytique.

Points de vigilance et notions requises

• Le discriminant : Savoir calculer Δ et identifier les racines d'un trinôme.
• Règle de signe : Un trinôme est du signe de 'a' à l'extérieur des racines.
• Dérivation : Appliquer la formule de dérivation des puissances : $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Lien signe/variation : Comprendre que le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction.
• Tangente : Connaître par cœur la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A : Étude du trinôme P(x)
1. Pour $P(x) = x^2 - 7x + 6$, on calcule le discriminant : $\Delta = (-7)^2 - 4(1)(6) = 49 - 24 = 25$. Les racines sont $x_1 = \frac{7 - 5}{2} = 1$ et $x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$.
2. Le coefficient $a=1$ est positif, donc $P(x)$ est positif sur $]-\infty ; 1[ \cup ]6 ; +\infty[$ et négatif sur $]1 ; 6[$.

Partie B : Application à la fonction f
1. La dérivée est $f'(x) = 2(3x^2) - 21(2x) + 36 = 6x^2 - 42x + 36$. En factorisant par 6, on retrouve $f'(x) = 6(x^2 - 7x + 6)$, soit $f'(x) = 6P(x)$. Cette étape est cruciale car elle lie les deux parties.
2. Les variations de $f$ découlent directement du signe de $f'(x)$ (donc de $P(x)$). La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty ; 1]$, décroissante sur $[1 ; 6]$ et croissante sur $[6 ; +\infty[$.
3. Pour l'équation de la tangente $T$ en $x=3$ :
Calcul de $f'(3) : 6(3^2 - 7 \times 3 + 6) = 6(9 - 21 + 6) = -36$.
Calcul de $f(3) : 2(3^3) - 21(3^2) + 36(3) = 54 - 189 + 108 = -27$.
L'équation est $y = -36(x - 3) - 27$, soit $y = -36x + 81$.