Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM de 5 questions indépendantes, typique des épreuves de contrôle continu (E3C) de Première Spécialité Mathématiques. Il balaie une large partie du programme du tronc commun de spécialité : l'étude du second degré (signe et extremum) et la géométrie analytique dans le plan (équations de droites et de cercles).

Points de vigilance et Rappels de cours

• Second degré : Pour une inéquation $ax^2 + bx + c \geqslant 0$, on cherche les racines via le discriminant $\Delta$. Le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines.
• Extremum : Une fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ admet un extremum en $x = -\frac{b}{2a}$. Si $a < 0$, c'est un maximum.
• Équation de cercle : L'équation cartésienne d'un cercle de centre $\Omega(x_0; y_0)$ et de rayon $R$ est $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
• Géométrie des droites : Une droite d'équation $ax + by + c = 0$ possède un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$.

Correction détaillée

Question 1 : Pour $2x^2 - 9x + 4 \geqslant 0$, on calcule $\Delta = (-9)^2 - 4(2)(4) = 81 - 32 = 49$. Les racines sont $x_1 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}$ et $x_2 = \frac{9 + 7}{4} = 4$. Comme $a = 2 > 0$, le trinôme est positif à l'extérieur des racines. Réponse b.

Question 2 : $g(x) = -x^2 + 4x$. C'est une parabole tournée vers le bas ($a = -1$). Le maximum est atteint en $x = -\frac{4}{2(-1)} = 2$. La valeur du maximum est $g(2) = -(2)^2 + 4(2) = 4$. Réponse b.

Question 3 : Vecteur normal $\vec{n}(2; -5) \implies 2x - 5y + c = 0$. En injectant $A(0; -7)$ : $2(0) - 5(-7) + c = 0 \implies 35 + c = 0 \implies c = -35$. L'équation est $2x - 5y - 35 = 0$. Réponse a.

Question 4 : $x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \iff (x-2)^2 - 4 + (y+3)^2 - 9 = 12 \iff (x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$. Le centre est $A(2; -3)$ et le rayon est $\sqrt{25} = 5$. Réponse c.

Question 5 : La droite $d$ a pour vecteur normal $\vec{n}(2; 3)$. Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(2 - (-2); 9 - 3) = (4; 6)$. On remarque que $\vec{AB} = 2\vec{n}$, donc $\vec{AB}$ est colinéaire au vecteur normal de $d$. Par conséquent, la droite $(AB)$ est perpendiculaire à $d$. Réponse a.