Analyse de l'énoncé
Cet exercice se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) composé de cinq questions indépendantes. Ce format est classique des évaluations de Première Spécialité Mathématiques car il permet de balayer un spectre large du programme : l'étude des fonctions (second degré et dérivation), les suites numériques et la géométrie analytique (droites et cercles). Chaque question nécessite une maîtrise rigoureuse des formules fondamentales.
Points de vigilance et notions requises
- Second degré : Savoir passer de la forme canonique à la forme factorisée en utilisant les identités remarquables (\(a^2 - b^2\)).
- Suites arithmétiques : Maîtriser la relation générale entre deux termes quelconques : \(u_n = u_p + (n-p)r\).
- Dérivation : Appliquer correctement la formule de dérivation d'un quotient \((u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). L'erreur la plus fréquente réside dans la gestion des signes au numérateur.
- Géométrie repérée : Connaître le lien entre vecteur directeur \(\vec{u}(-b; a)\) et équation cartésienne \(ax + by + c = 0\). Pour le cercle, se souvenir que l'équation est \((x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 = R^2\).
Correction détaillée
Question 1 : On part de \(f(x) = 0,5(x - 2)^2 - 8\). En factorisant par 0,5, on obtient \(0,5[(x - 2)^2 - 16]\). On reconnaît une identité remarquable \(a^2 - b^2\) avec \(a = x-2\) et \(b=4\). Ainsi, \(f(x) = 0,5(x-2-4)(x-2+4) = 0,5(x-6)(x+2)\). Réponse c.
Question 2 : Pour une suite arithmétique, \(u_{10} = u_2 + (10 - 2)r\). En remplaçant par les valeurs : \(-4 = u_2 + 8 \times 0,5 \implies -4 = u_2 + 4\). On en déduit \(u_2 = -8\). Réponse d.
Question 3 : \(f(x) = \frac{u}{v}\) avec \(u(x) = 2x - 1\) (\(u'=2\)) et \(v(x) = x + 2\) (\(v'=1\)). \(f'(x) = \frac{2(x+2) - 1(2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2}\). Réponse c.
Question 4 : Un vecteur directeur \(\vec{u}(-1; 2)\) donne \(a=2\) et \(b=1\), soit une équation de type \(2x + y + c = 0\). En passant par \(A(-1; 3)\), on a \(2(-1) + 3 + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1\). L'équation est \(2x + y - 1 = 0\), ce qui équivaut à \(-2x - y + 1 = 0\). Réponse d.
Question 5 : L'équation du cercle est \((x-2)^2 + (y-4)^2 = 3^2\). En développant : \(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 9 \implies x^2 + y^2 - 4x - 8y + 11 = 0\). Réponse c.