Analyse du Sujet 30 - Première Spécialité Mathématiques (2020)

Le sujet 30 de l'année 2020 pour la spécialité mathématiques en classe de Première offre un panorama complet du programme. Avec un équilibre entre analyse, géométrie analytique, suites numériques et probabilités, il constitue un excellent support de révision pour les évaluations communes et le baccalauréat. La difficulté est jugée équilibrée, mettant l'accent sur la rigueur méthodologique plutôt que sur la complexité calculatoire pure.

Exercice 1 : QCM Multi-thématique

Cet exercice de type QCM balaye trois piliers majeurs : le second degré et la géométrie repérée. Les deux premières questions testent la maîtrise du trinôme. Pour l'inéquation $2x^2 - 9x + 4 \ge 0$, le piège classique est d'oublier de vérifier le signe de 'a' (le coefficient de $x^2$). Puisque $a > 0$, la parabole est tournée vers le haut, et l'ensemble des solutions se situe à l'extérieur des racines.

La partie géométrie (questions 3 à 5) exige une connaissance parfaite des équations de droites et de cercles. Conseil méthodologique : Pour identifier le centre et le rayon d'un cercle à partir de sa forme développée, il faut utiliser la technique de complétion du carré (forme canonique). Rappelez-vous qu'une droite d'équation $ax + by + c = 0$ possède un vecteur normal $\vec{n}(a; b)$.

Exercice 2 : Dérivation et Fonction Exponentielle

L'exercice 2 porte sur l'étude d'une fonction produit du type $f(x) = u(x)v(x)$, mêlant polynôme et exponentielle. La première étape est la démonstration de la dérivée. Ici, $u(x) = 2x - 1$ et $v(x) = e^x$. L'application rigoureuse de la formule $(uv)' = u'v + uv'$ est cruciale.

Piège à éviter : Lors de l'étude du signe de $f'(x) = (2x + 1)e^x$, n'oubliez jamais de préciser que $e^x > 0$ pour tout réel $x$. Le signe de la dérivée ne dépend donc que du facteur affine $(2x + 1)$. L'exercice se conclut par la recherche d'une tangente, une question classique qui nécessite la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Exercice 3 : Suites Numériques et Algorithmique Python

Le thème central est ici la modélisation d'une baisse en pourcentage. Une réduction de 17% correspond à un coefficient multiplicateur de $0,83$ ($1 - 17/100$). La suite $(t_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,83$.

La partie Python demande d'interpréter une boucle 'While'. La variable 'A' représente le seuil de sortie. Pour trouver le nombre de compressions pour passer sous les 50 ko, il suffit de comprendre que la fonction renverra la valeur de $n$ dès que la condition 't > A' ne sera plus vérifiée. C'est une application directe de la recherche de seuil, très fréquente au bac.

Exercice 4 : Probabilités Conditionnelles et Variables Aléatoires

Le dernier exercice combine un arbre pondéré et l'étude d'une variable aléatoire. La construction de l'arbre est facilitée par l'énoncé qui donne des probabilités uniformes pour les catégories (1/3 chacune). La formule des probabilités totales est indispensable pour démontrer que $P(B) = 0,5$.

La notion de gain algébrique est fondamentale pour définir la loi de probabilité de $X$. Il ne faut pas oublier de soustraire la mise initiale (10€) des gains bruts. L'espérance mathématique $E(X)$ permet enfin de conclure sur le caractère 'favorable' ou non du jeu. Si $E(X) < 0$, le joueur est statistiquement perdant sur le long terme.

Conclusion

Ce sujet 30 est une synthèse robuste. Pour réussir, l'élève doit maîtriser l'articulation entre les expressions littérales et leur interprétation graphique ou algorithmique. La clé réside dans la clarté de la rédaction, particulièrement pour les justifications de signes et les transitions entre les lignes de calcul.