Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité aborde deux piliers du programme : les probabilités conditionnelles et les variables aléatoires, tout en intégrant une dimension algorithmique avec Python. La situation modélise un jeu de questions-réponses sur deux thèmes (Sciences et Économie) avec des probabilités de succès différenciées. L'enjeu est de savoir modéliser une expérience aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré, d'appliquer la formule des probabilités totales et de définir correctement une variable aléatoire de gain.

Points de vigilance et notions de cours

• Arbre pondéré : Il est crucial de bien placer les probabilités sur les branches. Ici, le choix du thème est équiprobable (\(P(S) = 0,5\) et \(P(E) = 0,5\)).
• Probabilités totales : Pour calculer \(P(B)\), il faut sommer les probabilités des chemins menant à une bonne réponse : \(P(B) = P(S \cap B) + P(\bar{S} \cap B)\).
• Indépendance : Deux évènements sont indépendants si et seulement si \(P(S \cap B) = P(S) \times P(B)\).
• Variable Aléatoire : Attention à ne pas oublier de soustraire le droit d'inscription (5 €) pour obtenir le gain réel \(X\).
• Algorithmique : La fonction Python présentée calcule l'espérance mathématique de la variable aléatoire.

Correction détaillée

Partie A :

1. \(P(S \cap B) = P(S) \times P_S(B) = 0,5 \times 0,75 = 0,375\).
2. D'après la formule des probabilités totales : \(P(B) = P(S \cap B) + P(\bar{S} \cap B)\). On calcule \(P(\bar{S} \cap B) = 0,5 \times 0,125 = 0,0625\). Donc \(P(B) = 0,375 + 0,0625 = 0,4375\).
3. \(P(S) \times P(B) = 0,5 \times 0,4375 = 0,21875\). Or \(P(S \cap B) = 0,375\). Comme \(P(S \cap B) eq P(S) \times P(B)\), les évènements ne sont pas indépendants.

Partie B :

1. Les valeurs possibles pour \(X\) sont : \(10 - 5 = 5\) (Sciences et succès), \(30 - 5 = 25\) (Économie et succès) et \(0 - 5 = -5\) (échec). La loi est : \(P(X=5) = 0,375\), \(P(X=25) = 0,0625\) et \(P(X=-5) = 1 - P(B) = 0,5625\).
2. La fonction effectue la somme des produits \(L[i] \times G[i]\), ce qui correspond à l'espérance \(E(X)\). Le calcul donne : \(E(X) = (-5 \times 0,5625) + (5 \times 0,375) + (25 \times 0,0625) = -2,8125 + 1,875 + 1,5625 = 0,625\). La fonction retourne donc \(0,625\).