Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité se concentre sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré. Il est structuré en deux parties complémentaires : une approche algébrique (Partie A) et une approche analytique via le calcul différentiel (Partie B). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à manipuler des expressions littérales, à étudier le signe d'un produit et à exploiter la dérivée pour trouver un extremum.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul algébrique : Savoir développer une expression ou identifier une identité remarquable (ici \((x+1)^2\)).
• Étude de signe : Un carré est toujours positif ou nul. Le signe de \(p(x)\) dépendra donc uniquement du facteur linéaire.
• Dérivation : Application des règles de base : \((x^n)' = nx^{n-1}\).
• Second degré : Savoir calculer un discriminant (\(\Delta\)) et trouver les racines d'un trinôme pour dresser un tableau de variations.

Guide de résolution détaillé

Partie A : Algèbre et Signe

1. Calcul de l'image : En remplaçant \(x\) par 5, on obtient \(p(5) = -(5)^3 + 3(5)^2 + 9(5) + 5 = -125 + 75 + 45 + 5 = 0\). On en déduit que 5 est une racine du polynôme.

2. Vérification de la forme factorisée : En développant \((5-x)(x^2 + 2x + 1)\), on retrouve \(-x^3 + 3x^2 + 9x + 5\). On remarque que \(x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2\). Ainsi \(p(x) = (5-x)(x+1)^2\).

3. Signe : Puisque \((x+1)^2 \ge 0\) pour tout \(x\), \(p(x)\) est du signe de \((5-x)\). Donc \(p(x) > 0\) sur \(]-\infty ; 5[\) et \(p(x) < 0\) sur \(]5 ; +\infty[\).

Partie B : Analyse et Optimisation

1. Calcul de la dérivée : En dérivant terme à terme, \(p'(x) = -3x^2 + 6x + 9\).

2. Recherche du maximum : Résolvons \(p'(x) = 0\). Le discriminant de \(-3x^2 + 6x + 9\) est \(\Delta = 6^2 - 4(-3)(9) = 36 + 108 = 144 = 12^2\). Les racines sont \(x_1 = \frac{-6-12}{-6} = 3\) et \(x_2 = \frac{-6+12}{-6} = -1\). Sur l'intervalle \([0 ; 5]\), la dérivée s'annule en 3. Elle est positive sur \([0 ; 3]\) (le coefficient de \(x^2\) est négatif) et négative sur \([3 ; 5]\). La fonction est donc croissante puis décroissante. Le maximum est atteint en \(x=3\) et vaut \(p(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) + 5 = 32\).