Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité se concentre sur l'étude complète d'une fonction polynôme du troisième degré. Il est structuré en deux parties complémentaires : une approche algébrique (Partie A) et une approche analytique via le calcul différentiel (Partie B). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à manipuler des expressions littérales, à étudier le signe d'un produit et à exploiter la dérivée pour trouver un extremum.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul algébrique : Savoir développer une expression ou identifier une identité remarquable (ici $(x+1)^2$).
• Étude de signe : Un carré est toujours positif ou nul. Le signe de $p(x)$ dépendra donc uniquement du facteur linéaire.
• Dérivation : Application des règles de base : $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Second degré : Savoir calculer un discriminant ($\Delta$) et trouver les racines d'un trinôme pour dresser un tableau de variations.

Guide de résolution détaillé

Partie A : Algèbre et Signe

1. Calcul de l'image : En remplaçant $x$ par 5, on obtient $p(5) = -(5)^3 + 3(5)^2 + 9(5) + 5 = -125 + 75 + 45 + 5 = 0$. On en déduit que 5 est une racine du polynôme.

2. Vérification de la forme factorisée : En développant $(5-x)(x^2 + 2x + 1)$, on retrouve $-x^3 + 3x^2 + 9x + 5$. On remarque que $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Ainsi $p(x) = (5-x)(x+1)^2$.

3. Signe : Puisque $(x+1)^2 \ge 0$ pour tout $x$, $p(x)$ est du signe de $(5-x)$. Donc $p(x) > 0$ sur $]-\infty ; 5[$ et $p(x) < 0$ sur $]5 ; +\infty[$.

Partie B : Analyse et Optimisation

1. Calcul de la dérivée : En dérivant terme à terme, $p'(x) = -3x^2 + 6x + 9$.

2. Recherche du maximum : Résolvons $p'(x) = 0$. Le discriminant de $-3x^2 + 6x + 9$ est $\Delta = 6^2 - 4(-3)(9) = 36 + 108 = 144 = 12^2$. Les racines sont $x_1 = \frac{-6-12}{-6} = 3$ et $x_2 = \frac{-6+12}{-6} = -1$. Sur l'intervalle $[0 ; 5]$, la dérivée s'annule en 3. Elle est positive sur $[0 ; 3]$ (le coefficient de $x^2$ est négatif) et négative sur $[3 ; 5]$. La fonction est donc croissante puis décroissante. Le maximum est atteint en $x=3$ et vaut $p(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) + 5 = 32$.