Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) issu des épreuves communes de 2020 pour le niveau Première Spécialité. Il balaye un spectre large du programme, testant la polyvalence des élèves sur cinq domaines distincts : les propriétés trigonométriques, l'interprétation graphique du second degré, le calcul de dérivées (sens physique du coefficient directeur), la géométrie analytique (équation de cercle) et l'espérance mathématique.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Il est essentiel de connaître les formules de symétrie sur le cercle trigonométrique (angles associés comme $x + \pi$).
• Second degré : Comprendre le lien entre le signe du discriminant, l'existence de racines et l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
• Dérivation : Se souvenir que le coefficient directeur de la tangente en un point $a$ est égal au nombre dérivé $f'(a)$.
• Géométrie repérée : Savoir passer de la forme développée $x^2 + ax + y^2 + by + c = 0$ à l'équation cartésienne réduite d'un cercle $(x-x_{\Omega})^2 + (y-y_{\Omega})^2 = R^2$.
• Variables aléatoires : La formule de l'espérance $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$.

Correction détaillée

Question 1 : On sait que $\sin(x + \pi) = -\sin(x)$. Si $\sin(x) = 1/3$, alors $\sin(x + \pi) = -1/3$. La réponse exacte est a.

Question 2 : Une fonction n'admet aucune racine si sa courbe représentative ne coupe jamais l'axe des abscisses. Graphiquement, la courbe d est située entièrement au-dessus de l'axe des abscisses ($y > 0$). C'est donc la réponse d.

Question 3 : Soit $f(x) = 2x - \frac{1}{x}$. La fonction est dérivable sur $]0 ; +\infty[$. Sa dérivée est $f'(x) = 2 - (-\frac{1}{x^2}) = 2 + \frac{1}{x^2}$. Le coefficient directeur de la tangente en $x=1$ est $f'(1) = 2 + \frac{1}{1^2} = 3$. La réponse exacte est b.

Question 4 : L'équation est $x^2 - 2x + y^2 + 6y + 2 = 0$. Utilisons la mise sous forme canonique :
$(x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 + 2 = 0$
$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 8 = 0$
$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 8$.
Il s'agit d'un cercle de centre $\Omega(1 ; -3)$ et de rayon $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. La réponse exacte est c.

Question 5 : L'espérance est $E(X) = (-10 \times \frac{1}{4}) + (6 \times \frac{3}{8}) + (10 \times \frac{3}{8})$.
$E(X) = -2,5 + \frac{18}{8} + \frac{30}{8} = -2,5 + \frac{48}{8} = -2,5 + 6 = 3,5$. La réponse exacte est a.