Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction produit mêlant un polynôme du second degré et la fonction exponentielle. La structure est classique : calcul de la dérivée, étude du signe pour déterminer les variations, et application géométrique avec la tangente.

Points de vigilance et notions requises

• Règle du produit : Pour dériver \(f(x) = u(x)v(x)\), on utilise la formule \((uv)' = u'v + uv'\).
• Signe de l'exponentielle : Rappel essentiel : pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\). Le signe de la dérivée dépendra donc uniquement du trinôme.
• Second degré : Savoir calculer un discriminant \(\Delta\) et trouver les racines pour déterminer le signe d'un trinôme \(ax^2+bx+c\).
• Équation de tangente : La formule \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) doit être connue par cœur.

Correction détaillée

1.a. Dérivation :
Posons \(u(x) = x^2 - 2,5x + 1\) et \(v(x) = e^x\).
Alors \(u'(x) = 2x - 2,5\) et \(v'(x) = e^x\).
En appliquant \((uv)'\), on a :
\(f'(x) = (2x - 2,5)e^x + (x^2 - 2,5x + 1)e^x = (2x - 2,5 + x^2 - 2,5x + 1)e^x\)
\(f'(x) = (x^2 - 0,5x - 1,5)e^x\). La relation est démontrée.

1.b. Variations :
Comme \(e^x > 0\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(P(x) = x^2 - 0,5x - 1,5\).
\(\Delta = (-0,5)^2 - 4(1)(-1,5) = 0,25 + 6 = 6,25\). \(\sqrt{6,25} = 2,5\).
Racines : \(x_1 = \frac{0,5 - 2,5}{2} = -1\) et \(x_2 = \frac{0,5 + 2,5}{2} = 1,5\).
\(f\) est donc croissante sur \(]-\infty ; -1]\), décroissante sur \([-1 ; 1,5]\) et croissante sur \([1,5 ; +\infty[\).

2.a. Tangente en \(x=0\) :
\(f(0) = (0 - 0 + 1)e^0 = 1\).
\(f'(0) = (0 - 0 - 1,5)e^0 = -1,5\).
L'équation est \(y = -1,5(x - 0) + 1\), soit \(\mathcal{T} : y = -1,5x + 1\).

2.b. Intersection :
On cherche \(a > 0\) tel que \(f(a) = -1,5a + 1\). En utilisant la table de valeurs de la calculatrice pour \(g(x) = f(x) - (-1,5x + 1)\), on observe un changement de signe entre 1,7 et 1,8 (\(g(1,7) \approx -0,41\) et \(g(1,8) \approx 0,13\)). L'encadrement est donc \(1,7 < a < 1,8\).