Analyse de l'énoncé

Cet exercice de type QCM (Questionnaire à Choix Multiples) est un excellent support pour réviser les fondamentaux des probabilités en classe de Première Spécialité. Il aborde trois piliers majeurs : les probabilités conditionnelles dans une situation d'urne, l'indépendance liée à des tirages successifs avec remise, et l'étude d'une variable aléatoire discrète (loi de probabilité et espérance).

Points de vigilance et notions de cours

• Probabilités conditionnelles : Il est crucial de distinguer la probabilité de l'intersection $P(A \cap B)$ de la probabilité conditionnelle $P_A(B)$. La première correspond au cas où les deux événements se réalisent simultanément.
• Arbre de probabilité : Bien que non demandé, esquisser un arbre pondéré au brouillon est la méthode la plus sûre pour ne pas se tromper dans les calculs de probabilités totales.
• Tirages avec remise : Cette mention implique que les épreuves sont indépendantes, permettant de multiplier simplement les probabilités entre elles.
• Espérance mathématique : La formule $E(X) = \sum p_i x_i$ doit être connue par cœur pour calculer le gain moyen sur le long terme.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : On cherche $P(R \cap G)$. On sait que $P(R) = 150/200 = 0,75$ et que parmi les rouges, 20 % sont gagnants, soit $P_R(G) = 0,2$. On a $P(R \cap G) = P(R) \times P_R(G) = 0,75 \times 0,2 = 0,15$. La réponse correcte est la c.

Question 2 : Utilisons la formule des probabilités totales : $P(G) = P(R \cap G) + P(B \cap G)$. Calculons $P(B \cap G) = P(B) \times P_B(G) = (50/200) \times 0,4 = 0,25 \times 0,4 = 0,1$. Ainsi, $P(G) = 0,15 + 0,1 = 0,25$. La réponse correcte est la c.

Question 3 : Les tirages sont indépendants avec remise. La probabilité de tirer un rouge est $P(R) = 0,75$. Pour deux rouges : $0,75 \times 0,75 = 0,5625$. La réponse correcte est la a.

Question 4 : On regarde le tableau de la loi de probabilité. L'événement $(X > 0)$ ne concerne que la valeur $X = 10$ car $0$ n'est pas strictement supérieur à $0$. Donc $P(X > 0) = P(X = 10) = 0,25$. La réponse correcte est la d.

Question 5 : Calcul de l'espérance $E(X) = (-5 \times 0,6) + (0 \times 0,15) + (10 \times 0,25) = -3 + 0 + 2,5 = -0,5$. La réponse correcte est la b.