Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude d'une fonction composée faisant intervenir la fonction exponentielle. Il se divise en deux parties complémentaires : une approche graphique pour tester la compréhension de la notion de nombre dérivé, et une approche algébrique pour valider les conjectures par le calcul. L'enjeu est de maîtriser le lien entre le coefficient directeur d'une tangente et la valeur de la dérivée en un point donné.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences du programme de Première sont indispensables :

• Lecture graphique : Savoir qu'une tangente horizontale implique une dérivée nulle ($f'(a) = 0$) et savoir calculer un coefficient directeur via la formule $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
• Calcul de dérivée : Appliquer la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$. Ici, avec $u(x) = 2x+2$ et $v(x) = e^x$.
• Propriétés de l'exponentielle : Se souvenir que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. C'est crucial pour l'étude de signe.
• Équation de tangente : Utiliser la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A : Lecture graphique
1. Pour $f'(-2)$, on observe une tangente horizontale au point A. Par définition, le coefficient directeur d'une droite horizontale est nul, donc $f'(-2) = 0$.
2. Pour $f'(0)$, la tangente au point B(0 ; 2) passe par C(1 ; 6). On calcule le coefficient directeur : $m = \frac{6 - 2}{1 - 0} = 4$. Ainsi, $f'(0) = 4$.

Partie B : Calcul algébrique
1. Dérivée : $f(x) = (2x+2)e^x$. On pose $u(x) = 2x+2 \Rightarrow u'(x) = 2$ et $v(x) = e^x \Rightarrow v'(x) = e^x$.
$f'(x) = 2e^x + (2x+2)e^x = e^x(2 + 2x + 2) = e^x(2x + 4)$. La formule est démontrée.

2. Signe et variations : Puisque $e^x > 0$ pour tout $x$, $f'(x)$ est du signe de $2x+4$.
$2x+4 = 0 \iff x = -2$.
$2x+4 > 0 \iff x > -2$.
La fonction $f$ est donc décroissante sur $]-\infty ; -2]$ et croissante sur $[-2 ; +\infty[$. Elle admet un minimum en $x = -2$.

3. Tangente en 0 : On sait que $f(0) = 2$ et $f'(0) = e^0(2(0)+4) = 4$. L'équation est $y = 4(x - 0) + 2$, soit $y = 4x + 2$.

4. Justifications finales :
- $f'(-2) = e^{-2}(2(-2)+4) = 0$, ce qui confirme la tangente horizontale en A.
- Pour le point C(1 ; 6) : en remplaçant $x$ par 1 dans l'équation $y = 4x+2$, on obtient $y = 4(1)+2 = 6$. Le point C appartient bien à la tangente en B.