Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité. Il combine l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré ($f$) et l'analyse d'une fonction du second degré ($g$). L'enjeu est de mobiliser les outils de la dérivation pour étudier les variations et les propriétés géométriques des courbes (tangentes). L'originalité réside dans la vérification d'un point de contact commun où les deux courbes partagent la même tangente.

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation : Connaître les formules $(x^n)' = nx^{n-1}$ et la linéarité de la dérivation.
• Étude de signe : Savoir factoriser ou utiliser le discriminant pour un trinôme du second degré.
• Tangente : Maîtriser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
• Lecture graphique : Identifier l'orientation d'une parabole (signe de $a$) et l'absence de racines (signe de $\Delta$).

Correction détaillée

1. Étude de $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 1$

• a. Calcul de la dérivée : En dérivant terme à terme, on obtient $f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$.
• b. Signe et variations : $f'(x) = 3(x^2 + 2x - 3)$. On cherche les racines du trinôme $x^2 + 2x - 3$. $\Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 16 = 4^2$. Les racines sont $x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3$ et $x_2 = \frac{-2+4}{2} = 1$. Le coefficient de $x^2$ étant positif, $f'(x)$ est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. $f$ est donc croissante sur $]-\infty ; -3]$, décroissante sur $[-3 ; 1]$ et croissante sur $[1 ; +\infty[$.
• c. Tangente en $x = -1$ : On a $f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) - 1 = -1 + 3 + 9 - 1 = 10$. Et $f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12$. L'équation est $y = -12(x - (-1)) + 10$, soit $y = -12x - 2$.

2. Étude de $g(x) = ax^2 + bx + c$

• a. Lecture graphique : La parabole est tournée vers le haut, donc $a > 0$. La courbe ne coupe pas l'axe des abscisses, donc $\Delta < 0$ (pas de racine réelle).
• b. Point commun et tangente : On vérifie $g(-1) = 10(-1)^2 + 8(-1) + 8 = 10 - 8 + 8 = 10$. Comme $f(-1) = 10$, le point $(-1, 10)$ est commun. Pour la tangente, on calcule $g'(x) = 20x + 8$. Alors $g'(-1) = 20(-1) + 8 = -12$. Puisque $f'(-1) = g'(-1)$, les deux courbes possèdent la même tangente $y = -12x - 2$ en ce point.